В две ёмкости налит раствор кислоты различной концентрации. В первой — 4 л, во второй — 16 л. Если их слить вместе, то получится раствор концентрацией 57%. Если же слить равное количество, то концентрация раствора будет 60%. Сколько литров чистой кислоты содержится в первой ёмкости?

Дано:

• Объём первой ёмкости: V₁ = 4 л
• Объём второй ёмкости: V₂ = 16 л
• Концентрация при сливании полного объёма: C_смесь = 57%
• Концентрация при сливании равных объёмов: C_равные = 60%

Решение:

1. Обозначим концентрации: Пусть концентрация кислоты в первой ёмкости будет x, а во второй — y.
2. Уравнение для полного смешивания:
   Общее количество кислоты = (количество кислоты в 1-й ёмкости) + (количество кислоты во 2-й ёмкости)
   Общий объём = V₁ + V₂ = 4 + 16 = 20 л.
   \[ 0.04x + 0.16y = 0.57 × 20 \]
   \[ 0.04x + 0.16y = 11.4 \]
   Умножим на 100 для удобства:
   \[ 4x + 16y = 1140 \]
   Разделим на 4:
   \[ x + 4y = 285 (1) \]
3. Уравнение для равного смешивания:
   Пусть мы берём по z литров из каждой ёмкости.
   Общее количество кислоты = z * x + z * y
   Общий объём = z + z = 2z
   Концентрация смеси = 60%.
   \[ \frac{zx + zy}{2z} = 0.60 \]
   \[ \frac{z(x+y)}{2z} = 0.60 \]
   \[ \frac{x+y}{2} = 0.60 \]
   \[ x+y = 1.2 (2) \]
4. Решаем систему уравнений:
   Из уравнения (2) выразим y: y = 1.2 - x.
   Подставим в уравнение (1):
   \[ x + 4(1.2 - x) = 285 \]
   \[ x + 4.8 - 4x = 285 \]
   \[ -3x = 285 - 4.8 \]
   \[ -3x = 280.2 \]
   \[ x = \frac{280.2}{-3} \]
   Ошибка в расчётах. Возвращаемся к шагу 2.
5. Исправление шага 2:
   \[ 0.04x + 0.16y = 11.4 \]
   Умножим на 100:
   \[ 4x + 16y = 1140 \]
   Разделим на 4:
   \[ x + 4y = 285 \]
   Это было верно. Проблема в уравнении (2).
6. Исправление шага 3:
   Если взять равное количество z литров, то количество кислоты будет z*x и z*y. Общее количество кислоты будет z*x + z*y. Общий объём будет 2z. Концентрация будет 60%.
   \[ \frac{zx + zy}{2z} = 0.60 \]
   Сокращаем z:
   \[ \frac{x+y}{2} = 0.60 \]
   \[ x+y = 1.2 (2) \]
   Число 1.2 не может быть концентрацией в процентах. Вероятно, в уравнениях не хватает умножения на 100.
7. Пересмотр уравнений:
   Уравнение 1: 4x + 16y = 1140 (это количество кислоты в граммах, если объёмы в литрах, а концентрация в %).
   Уравнение 2: Если взять z л из первой и z л из второй, то общее количество кислоты будет zx + zy. Общий объем 2z.
   Концентрация равна 60%.
   \[ \frac{zx × 1 + zy × 1}{2z} × 100 = 60 \]
   \[ \frac{z(x+y)}{2z} × 100 = 60 \]
   \[ \frac{x+y}{2} = 0.6 \]
   \[ x+y = 1.2 \]
   Это всё еще приводит к тому, что x+y=1.2. Это может означать, что x и y — доли, а не проценты.
8. Повторное решение с долями:
   Пусть x — доля кислоты в первой ёмкости, y — во второй.
   \[ 4x + 16y = 20 × 0.57 \]
   \[ 4x + 16y = 11.4 (1') \]
   При сливании равных объёмов z:
   \[ \frac{zx + zy}{2z} = 0.60 \]
   \[ \frac{x+y}{2} = 0.60 \]
   \[ x+y = 1.2 (2') \]
   Из (2'): y = 1.2 - x
   Подставляем в (1'):
   \[ 4x + 16(1.2 - x) = 11.4 \]
   \[ 4x + 19.2 - 16x = 11.4 \]
   \[ -12x = 11.4 - 19.2 \]
   \[ -12x = -7.8 \]
   \[ x = \frac{-7.8}{-12} = 0.65 \]
9. Вычисление концентрации первой ёмкости:
   x = 0.65, что составляет 65%.
10. Проверка:
    Если x = 0.65, то y = 1.2 - 0.65 = 0.55 (55%).
    Смешивание 4 л (65%) и 16 л (55%):
    Общее кол-во кислоты = 4 * 0.65 + 16 * 0.55 = 2.6 + 8.8 = 11.4 л.
    Общий объём = 4 + 16 = 20 л.
    Концентрация = 11.4 / 20 = 0.57 = 57%. (Верно)
    Смешивание равных объёмов (например, по 1 л):
    Кол-во кислоты = 1 * 0.65 + 1 * 0.55 = 0.65 + 0.55 = 1.2 л.
    Общий объём = 1 + 1 = 2 л.
    Концентрация = 1.2 / 2 = 0.60 = 60%. (Верно)
11. Вычисление чистой кислоты в первой ёмкости:
    Объём первой ёмкости = 4 л.
    Концентрация = 65%.
    Чистая кислота = 4 л * 0.65 = 2.6 л.

Ответ: 2.6 л