В двух театрах 70 костюмов. Первый передал половину своих костюмов второму на время спектакля. Тогда в первом театре стало в 4 раза меньше костюмов, чем во втором. Сколько костюмов было в каждом из них? Запиши ответ числами. Первый театр — Второй театр —

Решение:

Обозначим количество костюмов в первом театре как \( x \), а во втором как \( y \).

Всего костюмов: \( x + y = 70 \).

Первый театр передал половину своих костюмов, то есть \( \frac{x}{2} \). После этого в первом театре осталось \( x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2} \) костюмов.

Во втором театре стало \( y + \frac{x}{2} \) костюмов.

По условию, после передачи костюмов в первом театре стало в 4 раза меньше костюмов, чем во втором:

\( \frac{x}{2} = \frac{1}{4} \left( y + \frac{x}{2} \right) \)

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

\( 4 \cdot \frac{x}{2} = y + \frac{x}{2} \)

\( 2x = y + \frac{x}{2} \)

Вычтем \( \frac{x}{2} \) из обеих частей:

\( 2x - \frac{x}{2} = y \)

\( \frac{3x}{2} = y \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( x + y = 70 \)
2. \( y = \frac{3x}{2} \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( x + \frac{3x}{2} = 70 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{2x}{2} + \frac{3x}{2} = 70 \)

\( \frac{5x}{2} = 70 \)

Умножим обе части на 2:

\( 5x = 140 \)

Разделим на 5:

\( x = \frac{140}{5} = 28 \)

Теперь найдём \( y \), подставив \( x=28 \) во второе уравнение:

\( y = \frac{3 \cdot 28}{2} = 3 \cdot 14 = 42 \)

Проверка:

Общее количество костюмов: \( 28 + 42 = 70 \).

Первый передал: \( \frac{28}{2} = 14 \).

В первом театре стало: \( 28 - 14 = 14 \).

Во втором театре стало: \( 42 + 14 = 56 \).

В первом театре стало в 4 раза меньше, чем во втором: \( 14 \cdot 4 = 56 \). Условие выполнено.

Ответ: Первый театр — 28 костюмов, Второй театр — 42 костюма.