В двузначном числе цифра десятков на 1 меньше цифры единиц. Если цифры поменять местами, число увеличится на 9. Найдите исходное число.

Решение:

Обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через \( x \). Тогда цифра единиц будет \( x + 1 \).

Исходное число можно записать как \( 10x + (x+1) \).

Если поменять цифры местами, новое число будет \( 10(x+1) + x \).

По условию, новое число больше исходного на 9:

\( (10(x+1) + x) - (10x + (x+1)) = 9 \)

Раскроем скобки:

\( 10x + 10 + x - 10x - x - 1 = 9 \)

Упростим уравнение:

\( (10x + x - 10x - x) + (10 - 1) = 9 \)

\( 0x + 9 = 9 \)

\( 9 = 9 \)

Это означает, что условие \( \text{цифра десятков на 1 меньше цифры единиц} \) уже подразумевает, что при перестановке цифр число увеличится ровно на 9. Нам нужно найти такое двузначное число, где цифра десятков на 1 меньше цифры единиц.

Перечислим возможные варианты:

• Если \( x = 1 \), то \( x+1 = 2 \). Число: 12. Переставим: 21. \( 21 - 12 = 9 \).
• Если \( x = 2 \), то \( x+1 = 3 \). Число: 23. Переставим: 32. \( 32 - 23 = 9 \).
• Если \( x = 3 \), то \( x+1 = 4 \). Число: 34. Переставим: 43. \( 43 - 34 = 9 \).
• Если \( x = 4 \), то \( x+1 = 5 \). Число: 45. Переставим: 54. \( 54 - 45 = 9 \).
• Если \( x = 5 \), то \( x+1 = 6 \). Число: 56. Переставим: 65. \( 65 - 56 = 9 \).
• Если \( x = 6 \), то \( x+1 = 7 \). Число: 67. Переставим: 76. \( 76 - 67 = 9 \).
• Если \( x = 7 \), то \( x+1 = 8 \). Число: 78. Переставим: 87. \( 87 - 78 = 9 \).
• Если \( x = 8 \), то \( x+1 = 9 \). Число: 89. Переставим: 98. \( 98 - 89 = 9 \).

Цифра десятков \( x \) может быть от 1 до 8, так как \( x+1 \) не должно превышать 9.

Таким образом, исходное число может быть любым из перечисленных.

Ответ: Исходное число может быть 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 или 89.