В единичном кубе ABCDA1 В1 С1 D1 найдите расстояние от точки А до плоскости ВС₁D.

Решение

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти расстояние от точки A до плоскости BC₁D в единичном кубе.

1. Анализ задачи:

   В единичном кубе все ребра равны 1. Нужно найти расстояние от вершины A до плоскости, образованной вершинами B, C₁ и D.

2. Метод решения:

   Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. В данном случае, мы можем использовать объем тетраэдра и площадь грани для нахождения высоты.

3. Шаги решения:

   1. Рассмотрим тетраэдр ABC₁D.
   2. Найдем объем тетраэдра ABC₁D.
   3. Найдем площадь грани BC₁D.
   4. Используем формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.

1. Объем тетраэдра ABC₁D:

Тетраэдр ABC₁D можно рассматривать как куб, из которого вырезали четыре одинаковые пирамиды. Объем каждой такой пирамиды равен 1/6. Таким образом, объем тетраэдра ABC₁D равен объему куба минус объемы четырех пирамид:

\[V_{ABCD_1} = 1 - 4 \cdot \frac{1}{6} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]

2. Площадь грани BC₁D:

Треугольник BC₁D - равносторонний, так как все его стороны являются диагоналями граней куба и равны \(\sqrt{2}\). Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

где a - сторона треугольника. В нашем случае, a = \(\sqrt{2}\), поэтому:

\[S_{BC_1D} = \frac{(\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

3. Расстояние от точки A до плоскости BC₁D:

Расстояние (h) от точки A до плоскости BC₁D можно найти, используя формулу объема тетраэдра:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

Отсюда:

\[h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

Ответ:

Ответ: \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!