18 В единичном кубе А...D₁ най- дите угол между прямыми АВ и DB1.

Для решения данной задачи необходимо вспомнить некоторые свойства куба и уметь находить угол между прямыми в пространстве.

1. В единичном кубе все ребра равны 1.

2. Угол между прямыми в пространстве можно найти, используя векторы.

3. Если векторы \[\vec{a}\] и \[\vec{b}\] заданы своими координатами, то косинус угла между ними можно найти по формуле:

\[\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

где \[\vec{a} \cdot \vec{b}\] - скалярное произведение векторов \[\vec{a}\] и \[\vec{b}\] , а \[|\vec{a}|\] и \[|\vec{b}|\] - их длины.

Решение:

Введем систему координат с началом в точке A и осями, направленными вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно.

Тогда координаты точек будут следующими:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), B₁(1; 0; 1)

Найдем координаты векторов \[\vec{AB}\] и \[\vec{DB_1}\]:

\[\vec{AB} = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 0) = (1; 0; 0)\]

\[\vec{DB_1} = (1 - 0; 0 - 1; 1 - 0) = (1; -1; 1)\]

Найдем скалярное произведение векторов \[\vec{AB}\] и \[\vec{DB_1}\]:

\[\vec{AB} \cdot \vec{DB_1} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 = 1\]

Найдем длины векторов \[\vec{AB}\] и \[\vec{DB_1}\]:

\[|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1\]

\[|\vec{DB_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\]

Теперь найдем косинус угла между векторами \[\vec{AB}\] и \[\vec{DB_1}\]:

\[\cos \varphi = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Следовательно, угол \[\varphi\] между прямыми AB и DB₁ равен:

\[\varphi = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})\]

Так как \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] - это косинус угла 54.73°, то угол между прямыми AB и DB₁ приблизительно равен 54.73°.

Но для школьного ответа лучше оставить в виде арккосинуса.

Ответ: \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})\)