10. В фирме работает 30 сотрудников, из них 25 человек владеют английским языком, а 10 - испанским. Укажите номера истинных утверждений. 1) Каждый сотрудник этой фирмы, кто владеет английским языком, владеет и испанским. 2) В этой фирме нет ни одного сотрудника, владеющего и английским, и испанским. 3) В этой фирме хотя бы четыре сотрудника владеют английским, но не владеют испанским языком. 4) И английским, и испанским языками в этой фирме владеют 10 сотрудников или меньше.

Разберем каждое утверждение: Пусть A - множество сотрудников, владеющих английским языком, а B - множество сотрудников, владеющих испанским языком. Тогда $$|A| = 25$$, $$|B| = 10$$, а общее количество сотрудников $$|U| = 30$$. 1) Утверждение: Каждый сотрудник, владеющий английским, владеет и испанским. Это неверно, так как $$|A| = 25$$, что больше, чем $$|B| = 10$$. 2) Утверждение: В этой фирме нет ни одного сотрудника, владеющего и английским, и испанским. Пусть $$x$$ - количество сотрудников, владеющих обоими языками. Тогда количество сотрудников, владеющих хотя бы одним языком, равно $$|A \cup B| = |A| + |B| - x = 25 + 10 - x = 35 - x$$. Так как общее количество сотрудников 30, то $$35 - x \le 30$$, откуда $$x \ge 5$$. Значит, это утверждение неверно. 3) Утверждение: В этой фирме хотя бы четыре сотрудника владеют английским, но не владеют испанским языком. Количество сотрудников, владеющих только английским языком, равно $$|A \setminus B| = |A| - x = 25 - x$$. Так как $$x \le 10$$, то $$|A \setminus B| \ge 25 - 10 = 15$$. Значит, это утверждение верно. 4) Утверждение: И английским, и испанским языками в этой фирме владеют 10 сотрудников или меньше. Как мы выяснили, $$x \ge 5$$, а также $$x \le 10$$ (так как всего испанским владеют 10 человек). Значит, это утверждение верно. Ответ: Истинными являются утверждения 3 и 4.