В фирме работает 40 сотрудников. Из них 30 человек владеют английским языком, 22 человека — немецким. Укажите номера истинных утверждений.

Решение:

Давайте разберемся с помощью диаграммы Венна или просто логически.

Всего сотрудников: 40

Владеют английским (А): 30

Владеют немецким (Н): 22

Сумма владеющих хотя бы одним языком: 30 + 22 = 52. Это больше, чем общее число сотрудников (40). Значит, есть люди, которые владеют обоими языками.

Найдем количество людей, владеющих ОБОИМИ языками (А ∩ Н):

Всего сотрудников = (только А) + (только Н) + (А и Н) + (Ни А, ни Н)

Также, мы знаем, что 30 + 22 = 52. Эта сумма включает тех, кто знает оба языка дважды.

Количество владеющих хотя бы одним языком = (Владеют А) + (Владеют Н) - (Владеют А и Н)

Максимальное число людей, владеющих хотя бы одним языком, равно общему числу сотрудников, то есть 40.

40 = 30 + 22 - (А и Н)

40 = 52 - (А и Н)

(А и Н) = 52 - 40 = 12 человек. Это минимальное число людей, владеющих обоими языками.

Теперь найдем количество людей, не владеющих ни одним языком:

Ни А, ни Н = Всего сотрудников - (Только А + Только Н + А и Н)

Или проще:

Ни А, ни Н = Всего сотрудников - (Владеют хотя бы одним языком)

Количество владеющих хотя бы одним языком = 40 (максимум, т.к. нет людей, не знающих ни одного языка)

Если 12 человек знают оба языка, то:

Только А = 30 - 12 = 18

Только Н = 22 - 12 = 10

Всего = 18 (только А) + 10 (только Н) + 12 (А и Н) = 40. Это значит, что все сотрудники владеют хотя бы одним языком.

Проверим утверждения:

1) Не менее двух сотрудников фирмы владеют английским и немецким языками.

Мы выяснили, что 12 человек владеют обоими языками. 12 > 2. Утверждение истинно.

2) Каждый сотрудник, владеющий немецким языком, владеет английским языком.

Это означает, что все 22 человека, знающих немецкий, должны быть среди тех, кто знает и английский. Но мы знаем, что только 12 человек знают оба языка. Значит, 10 человек знают только немецкий. Утверждение ложно.

3) Не более 10 сотрудников фирмы не владеют ни английским, ни немецким языками.

Мы выяснили, что все 40 сотрудников владеют хотя бы одним языком. То есть, 0 сотрудников не владеют ни одним языком. 0 <= 10. Утверждение истинно.

4) Каждый сотрудник фирмы владеет или английским, или немецким языком.

Это означает, что нет сотрудников, которые не знают ни одного языка. Мы выяснили, что 18 (только А) + 10 (только Н) + 12 (А и Н) = 40. Это подтверждает, что все владеют хотя бы одним языком. Утверждение истинно.

Ответ: 1, 3, 4