в) $\frac{x}{x^2+4x+4}=\frac{4}{x^2-4}-\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}$

Question

Вопрос: $Фото задания: в) $\frac{x}{x^2+4x+4}=\frac{4}{x^2-4}-\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}$$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $x\ne -2$, $x\ne 2$.

Разложим знаменатели на множители: $x^2+4x+4=(x+2)^2$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^3+2x^2-4x-8=(x+2)^2(x-2)$.

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{4}{(x-2)(x+2)}-\frac{16}{(x+2)^2(x-2)}=\frac{4(x+2)-16}{(x+2)^2(x-2)}$.

Числитель равен $4(x-2)$, поэтому правая часть сокращается до $\frac{4}{(x+2)^2}$ при допустимых значениях $x$.

Тогда $\frac{x}{(x+2)^2}=\frac{4}{(x+2)^2}$. Умножаем на ненулевой знаменатель: $x=4$. Это значение входит в ОДЗ.

Ответ: $x=4$.

в) \(\frac{x}{x^2+4x+4}=\frac{4}{x^2-4}-\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}\)