В геометрической прогрессии {bn} найти количество членов меньших 1458, если b2 = 2, b5 = 54.

Решение:

В геометрической прогрессии известны:

• Второй член прогрессии: \( b_2 = 2 \)
• Пятый член прогрессии: \( b_5 = 54 \)
• Условие: найти количество членов \( b_n \), таких что \( b_n < 1458 \).

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), где \( b_1 \) — первый член, \( q \) — знаменатель прогрессии.

Воспользуемся известными членами прогрессии для нахождения знаменателя \( q \):

\( b_5 = b_2 \cdot q^{5-2} \)

\( 54 = 2 \cdot q^3 \)

\( q^3 = \frac{54}{2} \)

\( q^3 = 27 \)

\( q = \sqrt[3]{27} \)

\( q = 3 \)

Теперь найдем первый член прогрессии \( b_1 \), используя \( b_2 \):

\( b_2 = b_1 \cdot q \)

\( 2 = b_1 \cdot 3 \)

\( b_1 = \frac{2}{3} \)

Теперь найдем, при каком \( n \) член прогрессии \( b_n \) станет равным или больше 1458:

\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)

\( \frac{2}{3} \cdot 3^{n-1} < 1458 \)

Умножим обе части на \( \frac{3}{2} \):

\( 3^{n-1} < 1458 \cdot \frac{3}{2} \)

\( 3^{n-1} < 729 \cdot 3 \)

\( 3^{n-1} < 2187 \)

Представим 2187 в виде степени тройки:

\( 3^1 = 3 \)

\( 3^2 = 9 \)

\( 3^3 = 27 \)

\( 3^4 = 81 \)

\( 3^5 = 243 \)

\( 3^6 = 729 \)

\( 3^7 = 2187 \)

Итак, мы имеем:

\( 3^{n-1} < 3^7 \)

Следовательно, показатель степени \( n-1 \) должен быть меньше 7:

\( n-1 < 7 \)

\( n < 7 + 1 \)

\( n < 8 \)

Так как \( n \) — это номер члена прогрессии, он должен быть натуральным числом. Значит, \( n \) может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Количество таких членов равно 7.

Проверим:

• \( b_7 = \frac{2}{3} \cdot 3^{7-1} = \frac{2}{3} \cdot 3^6 = \frac{2}{3} \cdot 729 = 2 \cdot 243 = 486 \) (меньше 1458)
• \( b_8 = \frac{2}{3} \cdot 3^{8-1} = \frac{2}{3} \cdot 3^7 = \frac{2}{3} \cdot 2187 = 2 \cdot 729 = 1458 \) (равно 1458, что не меньше 1458)

Следовательно, количество членов, меньших 1458, равно 7.

Ответ: 7