677. В геометрической прогрессии (хₙ): a) q = -⅓, n = 5, Sₙ = 20⅓; найдите х₁ и хₙ; б) x₁ = 11, xₙ = 88, Sₙ = 165; найдите q и n; в) x₁ = ½, q = -½, Sₙ = 21/64, найдите n и хₙ; г) q = √3, xₙ = 18√3, Sₙ = 26√3 + 24; найдите х₁ и n.

Решение задачи 677

а)

Дано: геометрическая прогрессия, q = -1/3, n = 5, S₅ = 20 1/3 = 61/3.

Найти: x₁ и x₅.

1. Выразим сумму S₅ через x₁ и q: \[S_5 = \frac{x_1(1 - q^5)}{1 - q}\]
2. Подставим известные значения: \[\frac{61}{3} = \frac{x_1(1 - (-\frac{1}{3})^5)}{1 - (-\frac{1}{3})}\] \[\frac{61}{3} = \frac{x_1(1 + \frac{1}{243})}{\frac{4}{3}}\] \[\frac{61}{3} = \frac{x_1 \cdot \frac{244}{243}}{\frac{4}{3}}\] \[x_1 = \frac{61}{3} \cdot \frac{4}{3} : \frac{244}{243} = \frac{61}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{243}{244} = \frac{61 \cdot 4 \cdot 81}{4 \cdot 61 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{81}{2} = 40.5\]
3. Найдем x₅: \[x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = x_1 \cdot q^4 = \frac{81}{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{2} = 0.5\]

Ответ: x₁ = 40.5, x₅ = 0.5

б)

Дано: геометрическая прогрессия, x₁ = 11, xₙ = 88, Sₙ = 165.

Найти: q и n.

1. Выразим сумму Sₙ через x₁ и xₙ: \[S_n = \frac{x_n \cdot q - x_1}{q-1}\]
2. Подставим известные значения: \[165 = \frac{88q - 11}{q-1}\] \[165(q - 1) = 88q - 11\] \[165q - 165 = 88q - 11\] \[165q - 88q = 165 - 11\] \[77q = 154\] \[q = 2\]
3. Найдем n: \[x_n = x_1 \cdot q^{n-1}\] \[88 = 11 \cdot 2^{n-1}\] \[8 = 2^{n-1}\] \[2^3 = 2^{n-1}\] \[3 = n - 1\] \[n = 4\]

Ответ: q = 2, n = 4

в)

Дано: геометрическая прогрессия, x₁ = 1/2, q = -1/2, Sₙ = 21/64.

Найти: n и xₙ.

1. Выразим сумму Sₙ через x₁ и q: \[S_n = \frac{x_1(1 - q^n)}{1 - q}\]
2. Подставим известные значения: \[\frac{21}{64} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 - (-\frac{1}{2})}\] \[\frac{21}{64} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}}\] \[\frac{21}{64} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (1 - (-\frac{1}{2})^n)\] \[\frac{21}{64} = \frac{1}{3} (1 - (-\frac{1}{2})^n)\] \[\frac{21}{64} \cdot 3 = 1 - (-\frac{1}{2})^n\] \[\frac{21}{64} \cdot 3 = \frac{63}{64}\] \[1 - \frac{63}{64} = (-\frac{1}{2})^n\] \[\frac{1}{64} = (-\frac{1}{2})^n\] \[(-\frac{1}{2})^6 = (-\frac{1}{2})^n\] \[n = 6\]
3. Найдем xₙ: \[x_n = x_1 \cdot q^{n-1}\] \[x_6 = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{6-1} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{1}{64}\]

Ответ: n = 6, x₆ = -1/64

г)

Дано: геометрическая прогрессия, q = √3, xₙ = 18√3, Sₙ = 26√3 + 24.

Найти: x₁ и n.

1. Выразим сумму Sₙ через x₁ и xₙ: \[S_n = \frac{x_n \cdot q - x_1}{q-1}\]
2. Подставим известные значения: \[26\sqrt{3} + 24 = \frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - x_1}{\sqrt{3}-1}\] \[26\sqrt{3} + 24 = \frac{18 \cdot 3 - x_1}{\sqrt{3}-1}\] \[26\sqrt{3} + 24 = \frac{54 - x_1}{\sqrt{3}-1}\] \[(26\sqrt{3} + 24)(\sqrt{3}-1) = 54 - x_1\] \[26 \cdot 3 - 26\sqrt{3} + 24\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\] \[78 - 26\sqrt{3} + 24\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\] \[54 - 2\sqrt{3} = 54 - x_1\] \[x_1 = 2\sqrt{3}\]
3. Найдем n: \[x_n = x_1 \cdot q^{n-1}\] \[18\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1}\] \[9 = (\sqrt{3})^{n-1}\] \[3^2 = (3^{\frac{1}{2}})^{n-1}\] \[2 = \frac{1}{2}(n-1)\] \[4 = n - 1\] \[n = 5\]

Ответ: x₁ = 2√3, n = 5