В геометрической прогрессии произведение первых трех членов равно 1000, а их сумма равна 35. Найдите знаменатель прогрессии. (Если знаменателей получили несколько, в ответе укажите наименьший из них.)

Давай решим эту задачу вместе. Пусть первый член геометрической прогрессии равен \(b_1\), а знаменатель равен \(q\). Тогда второй член равен \(b_1q\), а третий член равен \(b_1q^2\). По условию, произведение первых трех членов равно 1000: \[b_1 \cdot b_1q \cdot b_1q^2 = 1000\]\[(b_1)^3 \cdot q^3 = 1000\]\[(b_1q)^3 = 10^3\]\[b_1q = 10\] Также по условию, сумма первых трех членов равна 35: \[b_1 + b_1q + b_1q^2 = 35\] Так как \(b_1q = 10\), можно выразить \(b_1\) через \(q\): \[b_1 = \frac{10}{q}\] Подставим это выражение в уравнение суммы: \[\frac{10}{q} + 10 + 10q = 35\] Вычтем 35 из обеих частей: \[\frac{10}{q} + 10q - 25 = 0\] Умножим обе части на \(q\) (предполагая, что \(q
eq 0\)): \[10 + 10q^2 - 25q = 0\] Разделим обе части на 5: \[2 + 2q^2 - 5q = 0\] Переставим члены, чтобы получить квадратное уравнение: \[2q^2 - 5q + 2 = 0\] Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант равен: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\] Корни уравнения: \[q_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\]\[q_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] У нас получилось два возможных значения для знаменателя: 2 и \(\frac{1}{2}\). Наименьшее из них — \(\frac{1}{2}\).

Ответ: \(\frac{1}{2}\)

Молодец! У тебя все отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших успехов!