14. В геометрической прогрессии со знаменателем -1/2 сумма первых семи членов равна 16 1/8. Найди b₁. 15. В геометрической прогрессии b₄ = 21 и b₆ = 189. Найди b₅ и q. Запиши формулу n-го члена прогрессии. 16. В геометрической прогрессии b₉ = 1/32 и b₅ = 1/2. Найди знаменатель геометрической прогрессии. 17*. В геометрической прогрессии b₁⋅b₁₁ = 1296, b₈ = 144. Найди b₄ и b₆. 18*. Вкладчик положил в банк 5000 р. при условии выплаты ему банком 6 % годовых. Какова будет сумма вклада через 4 года? 19*. Запиши в виде обыкновенной дроби число 0,(7). 20*. Запиши в виде обыкновенной дроби число 8,4(2).

14. Геометрическая прогрессия

В геометрической прогрессии сумма первых семи членов равна 16 1/8, что равно 129/8. Знаменатель прогрессии q = -1/2.

Сумма n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q).

Подставим известные значения: 129/8 = b₁ * (1 - (-1/2)⁷) / (1 - (-1/2)).

129/8 = b₁ * (1 - (-1/128)) / (3/2).

129/8 = b₁ * (1 + 1/128) / (3/2).

129/8 = b₁ * (129/128) / (3/2).

b₁ = (129/8) / ((129/128) / (3/2)).

b₁ = (129/8) * (3/2) / (129/128).

b₁ = (129/8) * (3/2) * (128/129).

b₁ = (3/2) * (128/8).

b₁ = (3/2) * 16.

b₁ = 24.

Ответ: b₁ = 24

15. Геометрическая прогрессия

Дано: b₄ = 21 и b₆ = 189.

Найдем b₅ и q.

b₆ = b₄ * q².

189 = 21 * q².

q² = 189 / 21.

q² = 9.

q = ±3.

Если q = 3, то b₅ = b₄ * q = 21 * 3 = 63.

Если q = -3, то b₅ = b₄ * q = 21 * (-3) = -63.

Формула n-го члена прогрессии: bₙ = b₁ * q^(n-1).

Для нахождения b₁ используем b₄ = b₁ * q³.

Если q = 3, то 21 = b₁ * 3³ = b₁ * 27, следовательно, b₁ = 21/27 = 7/9.

Если q = -3, то 21 = b₁ * (-3)³ = b₁ * (-27), следовательно, b₁ = 21/(-27) = -7/9.

Формула n-го члена: bₙ = (7/9) * 3^(n-1) или bₙ = (-7/9) * (-3)^(n-1).

Ответ: Если q = 3, то b₅ = 63 и bₙ = (7/9) * 3^(n-1). Если q = -3, то b₅ = -63 и bₙ = (-7/9) * (-3)^(n-1).

16. Геометрическая прогрессия

Дано: b₉ = 1/32 и b₅ = 1/2.

b₉ = b₅ * q⁴.

1/32 = (1/2) * q⁴.

q⁴ = (1/32) / (1/2).

q⁴ = 1/16.

q = ±1/2.

Ответ: Знаменатель геометрической прогрессии q = ±1/2.

17. Геометрическая прогрессия

Дано: b₁ * b₁₁ = 1296 и b₈ = 144.

Найти b₄ и b₆.

b₈² = b₁ * b₁₁ = 1296.

b₈ = √(1296) = 36 (противоречие условию, так как b₈ = 144).

Предположим, что условие b₁ * b₁₁ = b₈² верно, тогда b₈ = √(1296) = 36.

b₈ = b₁ * q⁷.

b₁ * b₁₁ = b₁ * b₁ * q¹⁰ = b₁² * q¹⁰ = 1296.

(b₁ * q⁵)² = 1296.

b₁ * q⁵ = 36.

b₁ = 36 / q⁵.

b₈ = b₁ * q⁷ = (36 / q⁵) * q⁷ = 36 * q² = 144.

q² = 144 / 36.

q² = 4.

q = ±2.

Если q = 2, то b₁ = 36 / 2⁵ = 36 / 32 = 9/8.

Если q = -2, то b₁ = 36 / (-2)⁵ = 36 / (-32) = -9/8.

Теперь найдем b₄ и b₆.

b₄ = b₁ * q³.

Если q = 2, то b₄ = (9/8) * 2³ = (9/8) * 8 = 9.

Если q = -2, то b₄ = (-9/8) * (-2)³ = (-9/8) * (-8) = 9.

b₆ = b₁ * q⁵.

Если q = 2, то b₆ = (9/8) * 2⁵ = (9/8) * 32 = 36.

Если q = -2, то b₆ = (-9/8) * (-2)⁵ = (-9/8) * (-32) = 36.

Ответ: b₄ = 9, b₆ = 36.

18. Вклад в банке

Вкладчик положил в банк 5000 р. под 6% годовых.

Какова будет сумма вклада через 4 года?

Формула сложного процента: A = P * (1 + r/n)^(nt), где:

A — сумма вклада через t лет,

P — начальная сумма вклада (5000 р.),

r — годовая процентная ставка (6% или 0.06),

n — количество начислений процентов в год (1),

t — количество лет (4).

A = 5000 * (1 + 0.06/1)^(1*4).

A = 5000 * (1.06)⁴.

A = 5000 * 1.26247696.

A = 6312.3848.

Ответ: Сумма вклада через 4 года будет 6312.38 р.

19. Обыкновенная дробь для 0,(7)

Пусть x = 0,(7) = 0,777...

Тогда 10x = 7,777...

Вычтем x из 10x: 10x - x = 7,777... - 0,777...

9x = 7.

x = 7/9.

Ответ: 0,(7) = 7/9.

20. Обыкновенная дробь для 8,4(2)

Пусть x = 8,4(2) = 8,4222...

Тогда 10x = 84,222...

100x = 842,222...

1000x = 8422,222...

1000x - 100x = 8422,222... - 842,222...

900x = 7580.

x = 7580 / 900.

x = 758 / 90.

x = 379 / 45.

Ответ: 8,4(2) = 379/45.