В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов в порядке возрастания.

Решение:

Обозначим члены геометрической прогрессии как \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\).

По условию задачи имеем:

1. \(b_1 + b_2 = 75\)
2. \(b_2 + b_3 = 150\)

В геометрической прогрессии каждый член, кроме первого, равен произведению предыдущего члена на знаменатель прогрессии \(q\). То есть:

• \(b_2 = b_1 · q\)
• \(b_3 = b_2 · q = (b_1 · q) · q = b_1 · q^2\)

Подставим эти выражения в уравнения:

1. \(b_1 + b_1 · q = 75 · b_1 (1 + q) = 75\)
2. \(b_1 · q + b_1 · q^2 = 150 · b_1 q (1 + q) = 150\)

Теперь разделим второе уравнение на первое (предполагая, что \(b_1(1+q) \neq 0\)):

\(\frac{b_1 q (1 + q)}{b_1 (1 + q)} = \frac{150}{75}\)

\(q = 2\)

Теперь, зная знаменатель \(q=2\), подставим его в первое уравнение:

\(b_1 (1 + 2) = 75\)

\(b_1 · 3 = 75\)

\(b_1 = \frac{75}{3} = 25\)

Найдем второй и третий члены прогрессии:

\(b_2 = b_1 · q = 25 · 2 = 50\)

\(b_3 = b_2 · q = 50 · 2 = 100\)

Проверим условия:

\(b_1 + b_2 = 25 + 50 = 75\) (Верно)

\(b_2 + b_3 = 50 + 100 = 150\) (Верно)

Требуется записать первые три члена прогрессии без пробелов в порядке возрастания:

\(25, 50, 100\)

Без пробелов: 2550100

Ответ: 2550100