В гладкий высокий стакан радиусом 4 см поставили однородную алюминиевую палочку длиной 10 см и массой 0,9 г, после чего в стакан налили до высоты һ = 4 см воду. Найдите модуль силы F, с которой верхний конец палочки давит на стенку стакана. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на палочку. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Ответ: F ≈ 0.00018 H

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим силы, действующие на палочку

На палочку действуют следующие силы:

• Сила тяжести \[mg\], приложенная к центру масс палочки.
• Сила Архимеда \[F_A\], приложенная к центру погруженной части палочки.
• Реакция дна стакана \[N_1\].
• Реакция стенки стакана \[N_2\] (именно её модуль \[F\] нужно найти).

• Шаг 2: Запишем условия равновесия палочки

Условия равновесия:

1. Сумма сил равна нулю (1): \[\vec{N_1} + \vec{N_2} + \vec{F_A} + \vec{mg} = 0\]
2. Сумма моментов сил относительно любой точки равна нулю (2). Удобно выбрать точку касания палочки и дна стакана.

• Шаг 3: Спроецируем уравнение (1) на оси координат

В проекциях на оси \[x\] и \[y\]:

\[N_2 - F_A \sin \alpha = 0 \quad (3)\]

\[N_1 + F_A \cos \alpha - mg = 0 \quad (4)\]

• Шаг 4: Запишем уравнение моментов относительно точки касания с дном

\[mg \frac{L}{2} \cos \alpha - F_A \frac{L_п}{2} \cos \alpha - N_2 L \sin \alpha = 0 \quad (5)\]

где \[L\] — длина палочки, \[L_п\] — длина погруженной части палочки.

• Шаг 5: Выразим \(F_A\)

\[F_A = \rho_в g V_п = \rho_в g S L_п\]

где \[\rho_в\] — плотность воды, \[V_п\] — объем погруженной части, \[S\] — площадь сечения палочки.

• Шаг 6: Найдем \(L_п\)

Из геометрии:

\[\sin \alpha = \frac{R}{L} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \arcsin \frac{R}{L} = \arcsin \frac{4}{10} = \arcsin 0.4 \approx 23.6^\circ\]

\[L_п = \frac{h}{\sin \alpha} = \frac{4}{\sin 23.6^\circ} \approx 10 \quad \text{см}\]

• Шаг 7: Выразим \(N_2\) из уравнения моментов (5)

\[N_2 = \frac{mg \frac{L}{2} \cos \alpha - \rho_в g S L_п \frac{L_п}{2} \cos \alpha}{L \sin \alpha} = \frac{mg \frac{L}{2} - \rho_в S L_п \frac{L_п}{2}}{L \tan \alpha} \cos \alpha\]

\[N_2 = \frac{0.0009 \cdot 9.8 \cdot 0.05 - 1000 \cdot S \cdot 0.1 \cdot 0.05}{0.1 \cdot 0.436}\]

• Шаг 8: Выразим площадь сечения \(S\)

\[S = \frac{m}{\rho_{ал} L} = \frac{0.0009}{2700 \cdot 0.1} \approx 3.33 \cdot 10^{-6} \quad \text{м}^2\]

• Шаг 9: Подставим значение \(S\) в выражение для \(N_2\)

\[N_2 = \frac{0.0009 \cdot 9.8 \cdot 0.05 - 1000 \cdot 3.33 \cdot 10^{-6} \cdot 0.1 \cdot 0.05}{0.1 \cdot 0.436} \approx 0.00018 \quad \text{Н}\]

Так как \[F = N_2\], то \[F \approx 0.00018 \quad \text{Н}\]

• Шаг 10: Законы, используемые для решения задачи

• Условия равновесия твердого тела (сумма сил и моментов равна нулю).
• Закон Архимеда.
• Определение синуса и тангенса угла в прямоугольном треугольнике.

Обоснование применения:

• Условия равновесия необходимы для статики палочки.
• Закон Архимеда учитывает выталкивающую силу воды.
• Тригонометрия нужна для проекций сил и нахождения углов.

Ответ: F ≈ 0.00018 H