В городе 46% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 7,7% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 10%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Решение:

Пусть \( M \) – событие, что выбранный человек – мужчина, а \( P \) – событие, что выбранный человек – пенсионер.

Нам дано:

• Общая доля мужчин: \( P(M) = 0.46 \)
• Общая доля пенсионеров: \( P(P) = 0.077 \)
• Доля пенсионеров среди женщин: \( P(P|M^c) = 0.10 \), где \( M^c \) – событие, что выбранный человек – женщина.

Мы знаем, что \( P(M^c) = 1 - P(M) = 1 - 0.46 = 0.54 \).

Из формулы условной вероятности: \( P(P|M^c) = \frac{P(P \cap M^c)}{P(M^c)} \).

Отсюда, вероятность того, что выбранный человек – женщина и пенсионер: \( P(P \cap M^c) = P(P|M^c) \cdot P(M^c) = 0.10 \cdot 0.54 = 0.054 \).

Общая вероятность того, что выбранный человек – пенсионер, складывается из вероятности быть мужчиной-пенсионером и женщиной-пенсионером: \( P(P) = P(P \cap M) + P(P \cap M^c) \).

Нам нужно найти вероятность того, что выбранный мужчина является пенсионером, то есть \( P(P|M) \).

Сначала найдем вероятность того, что выбранный человек – мужчина и пенсионер: \( P(P \cap M) = P(P) - P(P \cap M^c) = 0.077 - 0.054 = 0.023 \).

Теперь найдем условную вероятность \( P(P|M) \):

\[ P(P|M) = \frac{P(P \cap M)}{P(M)} = \frac{0.023}{0.46} \]\[ P(P|M) = 0.05 \]

Ответ: 0.05