В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве? 2. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 - по 4 друга, а 10 - по 5 друзей? 3. а) Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см? б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы всё же изготовить требуемый каркас?

Задача 1:

В государстве 100 городов, и из каждого выходит 4 дороги. Чтобы найти общее количество дорог, нужно умножить количество городов на количество дорог, выходящих из каждого города, а затем разделить на 2, так как каждая дорога соединяет два города.

• Вычисление: \( \frac{100 \times 4}{2} = 200 \).

Задача 2:

В классе 30 человек. Проверяем, может ли 9 из них иметь по 3 друга, 11 – по 4 друга, и 10 – по 5 друзей. Общее количество друзей должно быть четным, так как дружба – это взаимное отношение.

• Вычисление: \( (9 \times 3) + (11 \times 4) + (10 \times 5) = 27 + 44 + 50 = 121 \).
• Так как 121 - нечетное число, то такая ситуация невозможна.

Задача 3 (а):

Дан кусок проволоки длиной 120 см. Нужно узнать, можно ли изготовить каркас куба с ребром 10 см, не ломая проволоку.

• У куба 12 ребер.
• Длина одного ребра 10 см.
• Общая длина проволоки для каркаса: \( 12 \times 10 = 120 \) см.
• Так как длина проволоки равна необходимой длине для каркаса, можно изготовить каркас, не ломая проволоку.

Задача 3 (б):

Если кусок проволоки имеет длину 120 см, и нужно изготовить каркас куба с ребром 10 см, то проволоку можно не ломать.

Но если, например, длина проволоки меньше 120 см, то придется ломать. Допустим, у нас кусок проволоки длиной 110 см. Тогда:

• Нам нужно 12 отрезков по 10 см.
• Можно сделать 11 отрезков по 10 см, не ломая проволоку.
• Чтобы сделать последний, 12-й отрезок, придется сломать один из уже имеющихся отрезков. Значит, нужно сломать проволоку 1 раз.
• Если длина проволоки меньше, чем 110 см, например, 100 см, то можно сделать 10 отрезков по 10 см. Чтобы сделать еще два отрезка, нужно будет сломать, как минимум, два отрезка.
• Значит, проволоку нужно будет сломать 2 раза.