В графе половина вершин имеют степень 5, а половина - степень 3. Сколько вершин в этом графе, если в нём 40 рёбер? Ответ:

Пошаговое решение:

• Пусть \( n \) - количество вершин в графе. Тогда половина вершин имеет степень 5, а половина - степень 3. Значит, \( \frac{n}{2} \) вершин имеют степень 5, и \( \frac{n}{2} \) вершин имеют степень 3.
• Сумма степеней всех вершин равна: \( 5 \cdot \frac{n}{2} + 3 \cdot \frac{n}{2} = \frac{5n}{2} + \frac{3n}{2} = \frac{8n}{2} = 4n \).
• По теореме о сумме степеней вершин графа, сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер. В данном случае, число рёбер равно 40, значит, сумма степеней всех вершин равна \( 2 \cdot 40 = 80 \).
• Получаем уравнение: \( 4n = 80 \).
• Решаем уравнение: \( n = \frac{80}{4} = 20 \).

Ответ: 20