1. В гранях двугранного угла проведены две прямые, перпендикулярные к его ребру. Угол между прямыми равен 70°. Чему равна величина двугранного угла? 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите двугранный угол C₁ADB, если BD = 6/2 см, AD = 6 см, АА₁ = 6/3 см. 3. Основанием тетраэдра МАВС служит треугольник АВС, в котором АВ = ВС и АС = 2a/3. Точка О є АС, отрезок МО перпендикулярен АС и ОА = ОС. Расстояние от точки О до прямой МВ равно а. Вычислите угол между плоскостями АМВ и CMB. 4. Точки А и В принадлежат разным граням прямого двугранного угла. Точки А₁ и В₁ — проекции точек А и В на ребро двугранного угла. Найдите длину отрезка АВ, если АА₁ = 7 см, ВВ₁ = 6 см, А₁В₁ = 3 см.

Привет! Сейчас разберем эти задачи по геометрии. Будет интересно!

Задача 1

В гранях двугранного угла проведены две прямые, перпендикулярные к его ребру. Угол между прямыми равен 70°. Чему равна величина двугранного угла?

Решение:

Двугранный угол измеряется линейным углом, образованным двумя перпендикулярами к ребру, проведёнными в гранях. Таким образом, величина двугранного угла равна углу между прямыми.

Ответ: 70°

Задача 2

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите двугранный угол C₁ADB, если BD = 6√2 см, AD = 6 см, AA₁ = 6√3 см.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольник ABCD. Так как ABCD - прямоугольник, то \(\angle ADC = 90^\circ\). Используем теорему Пифагора для нахождения стороны CD:

\[AC^2 = AD^2 + CD^2\]

\[(6\sqrt{2})^2 = 6^2 + CD^2\]

\[72 = 36 + CD^2\]

\[CD^2 = 36\]

\[CD = 6\ \text{см}\]

2. Так как AD = CD = 6, то треугольник ADC - равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, \(\angle DAC = 45^\circ\).
3. Рассмотрим треугольник AA₁D. Так как параллелепипед прямоугольный, то \(AA_1 \perp (ABCD)\), а значит, \(\angle A_1AD = 90^\circ\). Найдём \(\angle A_1DA\):

\[\tan(\angle A_1DA) = \frac{AA_1}{AD} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\]

\[\angle A_1DA = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ\]

4. Рассмотрим треугольник A₁DC₁. Так как \(A_1D = DC_1\), \(\angle C_1DA = 60^\circ\), \(\angle ADC = 45^\circ\) найдем искомый угол \(\angle C_1DA \)

Так как \(AA_1 \perp (ABCD)\), то \(AA_1 \perp AD\) и \(AA_1 \perp CD\). Значит, \(\angle C_1DA = 90^\circ + \angle A_1DC = 60^\circ \)

Тогда искомый угол \(\angle C_1DA = \angle C_1DA + \angle A_1DA = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ\)

Ответ: 105°

Задача 3

Основанием тетраэдра MABC служит треугольник ABC, в котором AB = BC и AC = 2a√3. Точка O ∈ AC, отрезок MO перпендикулярен AC и OA = OC. Расстояние от точки O до прямой MB равно a. Вычислите угол между плоскостями AMB и CMB.

Решение:

1. Определим положение точки O: Так как OA = OC и AC = 2a√3, то OA = OC = a√3.
2. MO перпендикулярно AC, и расстояние от O до MB равно a. Пусть это расстояние достигается в точке H, тогда OH = a и OH ⊥ MB.
3. Треугольник MOC – прямоугольный, так как MO ⊥ AC.
4. Угол между плоскостями AMB и CMB – это угол между перпендикулярами, опущенными из одной точки на эти плоскости. В данном случае, MO перпендикулярен плоскости ABC.
5. Так как AB = BC, треугольник ABC – равнобедренный.

Эта задача требует дополнительной информации или рисунка для более точного решения. Без конкретных данных сложно вычислить точный угол между плоскостями AMB и CMB.

Задача 4

Точки A и B принадлежат разным граням прямого двугранного угла. Точки A₁ и B₁ — проекции точек A и B на ребро двугранного угла. Найдите длину отрезка AB, если AA₁ = 7 см, BB₁ = 6 см, A₁B₁ = 3 см.

Решение:

Поскольку двугранный угол прямой, то \(AA_1 \perp A_1B_1\) и \(BB_1 \perp A_1B_1\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками A, B и проекциями A₁, B₁ на ребро двугранного угла. Можно использовать теорему Пифагора в трехмерном пространстве:

\[AB^2 = (AA_1 - BB_1)^2 + A_1B_1^2\]

\[AB^2 = (7 - 6)^2 + 3^2\]

\[AB^2 = 1^2 + 9\]

\[AB^2 = 10\]

\[AB = \sqrt{10}\ \text{см}\]

Ответ: √10 см