В группе 18 человек, из них 7 мальчиков, остальные девочки. По сигналу учителя физкультуры они быстро построились в одну шеренгу в случайном порядке. Найдите вероятность того, что на концах шеренги окажутся две девочки или два мальчика.

Для начала определим количество девочек в группе: 18 - 7 = 11 девочек. Теперь рассмотрим два случая: 1. На концах шеренги две девочки. 2. На концах шеренги два мальчика. Найдем вероятность каждого из этих случаев и сложим их, чтобы получить общую вероятность. *Случай 1: Две девочки на концах шеренги* Общее количество способов расставить 18 человек в шеренгу равно 18!. Чтобы на концах стояли две девочки, мы выбираем 2 девочек из 11 и расставляем их на концах шеренги (2 способа: первая девочка слева, вторая справа или наоборот). Оставшихся 9 девочек и 7 мальчиков (всего 16 человек) расставляем в произвольном порядке между двумя девочками. Количество способов выбрать двух девочек из 11 и расставить их равно $$A_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)!} = \frac{11!}{9!} = 11 \cdot 10 = 110$$. Оставшихся 16 человек можно расставить 16! способами. Таким образом, количество благоприятных исходов для этого случая равно $$A_{11}^2 \cdot 16! = 110 \cdot 16!$$. Вероятность этого случая равна $$\frac{110 \cdot 16!}{18!} = \frac{110}{18 \cdot 17} = \frac{55}{153}$$. *Случай 2: Два мальчика на концах шеренги* Аналогично, чтобы на концах стояли два мальчика, мы выбираем 2 мальчиков из 7 и расставляем их на концах (2 способа). Оставшихся 5 мальчиков и 11 девочек (всего 16 человек) расставляем в произвольном порядке между двумя мальчиками. Количество способов выбрать двух мальчиков из 7 и расставить их равно $$A_7^2 = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$$. Оставшихся 16 человек можно расставить 16! способами. Таким образом, количество благоприятных исходов для этого случая равно $$A_7^2 \cdot 16! = 42 \cdot 16!$$. Вероятность этого случая равна $$\frac{42 \cdot 16!}{18!} = \frac{42}{18 \cdot 17} = \frac{7}{51}$$. Теперь сложим вероятности двух случаев: $$\frac{55}{153} + \frac{7}{51} = \frac{55}{153} + \frac{21}{153} = \frac{76}{153}$$. Ответ: Вероятность того, что на концах шеренги окажутся две девочки или два мальчика, равна $$\frac{76}{153}$$