В группе учится 20 студентов, из них 15 человек сдали зачет по информатике и 10 сдали зачет по физике. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по информатике, и по физике. 2) В этой группе найдётся 6 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 3) Менее 11 студентов из этой группы сдали зачёты и по информатике, и по физике. 4) В этой группе найдётся 10 студентов, которые не сдали зачёт по информатике, но сдали зачёт по физике.

Решение: 1. **Анализ условия задачи:** * Всего студентов: 20 * Сдали информатику: 15 * Сдали физику: 10 2. **Определение минимального количества студентов, сдавших оба предмета:** Пусть x - количество студентов, сдавших оба предмета. Тогда: $$15 + 10 - x \le 20$$, что означает, что сумма сдавших информатику и физику, минус те, кто сдал оба, не может превышать общее количество студентов. $$25 - x \le 20$$ $$x \ge 5$$ Значит, как минимум 5 студентов сдали оба предмета. Утверждение 1 верно. 3. **Определение максимального количества студентов, не сдавших ни одного предмета:** Сумма сдавших хотя бы один предмет: $$15 + 10 - x$$ (где x - количество сдавших оба). Максимальное количество сдавших оба предмета - 10 (т.к. физику сдали 10). Тогда минимум сдавших хотя бы один предмет: $$15 + 10 - 10 = 15$$ студентов. Следовательно, максимум несдавших ничего: $$20 - 15 = 5$$. Утверждение 2 неверно, так как говорится о 6 студентах. 4. **Определение максимального количества студентов, сдавших оба предмета:** Максимум сдавших оба предмета - 10. Тогда минимум сдавших информатику, но не физику: $$15 - 10 = 5$$. Максимум сдавших только физику: $$10 - 5 = 5$$. Минимальное количество сдавших только физику равно 0 (все 10 сдавших физику могли сдать и информатику). Проверим утверждение 4: Пусть x - количество сдавших физику, но не информатику. Так как 15 сдали информатику, то 5 не сдали. Тогда 10 сдавших физику могли сдать и информатику. Если 5 сдали информатику, и физику то только физику сдали $$10-5 = 5$$, так 5 не сдавали информатику, но 5 не сдавали физику. Значит утверждение 4 неверно. 5. **Определение максимального количества студентов, сдавших хотя бы один предмет:** $$15 + 10 - 5 = 20$$. Все 20 сдали хотя бы один предмет. $$20 < 11$$ - неверно, утверждение 3 неверно. Ответ: 1