В группе учится 20 студентов, из них 15 человек сдали зачёт по информатике и 10 сдали зачёт по физике. Укажите номера истинных утверждений.

Пусть И - сдали информатику, Ф - сдали физику. Всего 20 студентов.

|И| = 15, |Ф| = 10.

1. |И ∩ Ф| ≥ 5. По принципу включения-исключения: |И ∪ Ф| = |И| + |Ф| - |И ∩ Ф|. Так как |И ∪ Ф| ≤ 20, то 20 ≥ 15 + 10 - |И ∩ Ф|, откуда |И ∩ Ф| ≥ 5. Утверждение истинно.

2. Не сдали ни одного: 20 - |И ∪ Ф| = 20 - (15 + 10 - |И ∩ Ф|) = |И ∩ Ф| - 5. Минимальное значение |И ∩ Ф| - 5 = 5 - 5 = 0. Утверждение может быть ложным.

3. Менее 11 сдали оба предмета: |И ∩ Ф| < 11. Так как |И ∩ Ф| ≥ 5, это возможно.

4. Не сдали информатику, но сдали физику: |Ф| - |И ∩ Ф| = 10 - |И ∩ Ф|. Если |И ∩ Ф| = 5, то 10 - 5 = 5. Если |И ∩ Ф| = 10, то 10 - 10 = 0. Утверждение может быть ложным.

Истинные утверждения: 1, 3.