В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по экономике и 20 сдали зачёт по английскому языку. Укажите номера истинных утверждений. 1) Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 2) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 3) Меньше 21 студента из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 4) В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.

Question

Вопрос:

Фото задания

В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по экономике и 20 сдали зачёт по английскому языку. Укажите номера истинных утверждений. 1) Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 2) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 3) Меньше 21 студента из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 4) В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.

Accepted Answer

Решение:

Обозначим:

\( E \) — множество студентов, сдавших зачёт по экономике. \( |E| = 20 \)
\( A \) — множество студентов, сдавших зачёт по английскому языку. \( |A| = 20 \)
\( S \) — общее количество студентов в группе. \( |S| = 30 \)

Найдём минимальное количество студентов, сдавших оба зачёта. По принципу включения-исключения:

\( |E \cup A| = |E| + |A| - |E \cap A| \)

Так как \( |E \cup A| \le |S| \), то \( 20 + 20 - |E \cap A| \le 30 \)

\( 40 - |E \cap A| \le 30 \)

\( |E \cap A| \ge 40 - 30 = 10 \)

Минимальное количество студентов, сдавших оба зачёта, равно 10.

Теперь проанализируем утверждения:

Утверждение 1: «Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку». Это утверждение истинно, так как мы выяснили, что \( |E \cap A| \ge 10 \).
Утверждение 2: «В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов». Количество студентов, не сдавших ни одного зачёта, равно \( |S| - |E \cup A| \). Максимальное значение \( |E \cup A| \) равно 30 (если все студенты сдали хотя бы один зачёт). Минимальное значение \( |E \cup A| \) равно \( 20 + 20 - 30 = 10 \). Таким образом, количество не сдавших может быть от \( 30 - 30 = 0 \) до \( 30 - 10 = 20 \). Утверждение «найдётся 11 студентов, не сдавших» может быть как истинным, так и ложным. Но нам нужно указать номера *истинных* утверждений. Чтобы проверить, может ли быть 11 не сдавших, нужно проверить, может ли быть \( |E \text{ U } A| = 19 \). Это возможно, например, если \( |E \text{ n } A| = 21 \), что невозможно. Если \( |E \text{ n } A| = 10 \), то \( |E \text{ U } A| = 30 \), тогда не сдавших 0. Если \( |E \text{ n } A| = 20 \) (максимум, так как \( |A|=20 \)), то \( |E \text{ U } A| = 20 + 20 - 20 = 20 \), тогда не сдавших \( 30-20 = 10 \). Утверждение 2 не является гарантированно истинным.
Утверждение 3: «Меньше 21 студента из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку». Это утверждение истинно, так как \( |E \text{ n } A| \le 20 \) (не может быть больше студентов, сдавших один из зачётов).
Утверждение 4: «В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике». Это количество студентов, которые сдали только по экономике. Оно равно \( |E| - |E \text{ n } A| \). Минимальное значение \( |E \text{ n } A| = 10 \), тогда только по экономике сдали \( 20 - 10 = 10 \). Максимальное значение \( |E \text{ n } A| = 20 \), тогда только по экономике сдали \( 20 - 20 = 0 \). Таким образом, количество студентов, сдавших только по экономике, лежит в диапазоне от 0 до 10. Утверждение, что их 20, ложно.

Ответ: 1, 3.