В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по истории и 15 сдали зачёт по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Менее 16 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 3) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 4) Если студент этой группы сдал зачёт по истории, то он сдал и зачёт по русскому языку.

Обозначим через x число студентов, сдавших оба зачёта.

По формуле включений и исключений:

\(x \geq 20+15-30=5\), а так как по истории зачёт сдали 20 человек, то \(x\leq 15\). Следовательно, \(5\leq x\leq 15\).

1. \(x<16\) — утверждение истинно.
2. \(x\geq 5\) — утверждение истинно.
3. Число не сдавших ни одного зачёта равно \(30-(20+15-x)=x-5\), оно не может быть равно 11, так как \(x\leq15\). Утверждение ложно.
4. Из условия не следует, что каждый сдавший историю сдал русский язык. Утверждение ложно.

Ответ: 1, 2.