В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$, где $$m_0$$ — начальная масса изотопа, $$t$$ — время, прошедшее от начального момента, $$T$$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Решение:

Для решения задачи используем формулу радиоактивного распада:

\( m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} \)

Где:

• \( m \) — конечная масса изотопа (5 мг)
• \( m_0 \) — начальная масса изотопа (40 мг)
• \( T \) — период полураспада (10 мин)
• \( t \) — время, прошедшее от начального момента (искомая величина)

Подставим известные значения в формулу:

\( 5 = 40 \cdot 2^{-\frac{t}{10}} \)

Разделим обе части уравнения на 40:

\( \frac{5}{40} = 2^{-\frac{t}{10}} \)

\( \frac{1}{8} = 2^{-\frac{t}{10}} \)

Представим \( \frac{1}{8} \) как степень двойки:

\( \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 2^{-3} = 2^{-\frac{t}{10}} \)

Так как основания степеней равны, равны и показатели степеней:

\( -3 = -\frac{t}{10} \)

Умножим обе части на -1:

\( 3 = \frac{t}{10} \)

Умножим обе части на 10, чтобы найти \( t \):

\( t = 3 \cdot 10 \)

\( t = 30 \) минут.

Ответ: 30 мин.