3 В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t) = mo 2-1/T , где то – начальная масса изотопа, t – время, прошедшее от начального момента, Т – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Решение:

Запишем формулу, описывающую изменение массы радиоактивного изотопа со временем:

\[ m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} \]

• где \( m(t) \) – масса изотопа в момент времени \( t \),
• \( m_0 \) – начальная масса изотопа,
• \( t \) – время, прошедшее от начального момента,
• \( T \) – период полураспада.

Из условия задачи известны следующие значения:

• Начальная масса изотопа \( m_0 = 40 \) мг,
• Период полураспада \( T = 10 \) мин,
• Конечная масса изотопа \( m(t) = 5 \) мг.

Необходимо найти время \( t \), через которое масса изотопа станет равной 5 мг. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно \( t \):

\[ 5 = 40 \cdot 2^{-\frac{t}{10}} \]

Разделим обе части уравнения на 40:

\[ \frac{5}{40} = 2^{-\frac{t}{10}} \]

\[ \frac{1}{8} = 2^{-\frac{t}{10}} \]

Представим \( \frac{1}{8} \) как степень числа 2:

\[ 2^{-3} = 2^{-\frac{t}{10}} \]

Так как основания степеней равны, приравняем показатели:

\[ -3 = -\frac{t}{10} \]

Умножим обе части уравнения на -10:

\[ t = 3 \cdot 10 \]

\[ t = 30 \]

Таким образом, масса изотопа будет равна 5 мг через 30 минут.

Ответ: 30 минут.