5. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t) = m0 · 2-t/T, где m0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, Т— период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 272 мг. Период его полураспада составляет 40 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 17 мг.

Дано:

$$m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$,

$$m_0 = 272 \text{ мг}$$,

$$T = 40 \text{ мин}$$,

$$m(t) = 17 \text{ мг}$$.

Найти: t - ?

Решение:

Подставим известные значения в формулу:

$$17 = 272 \cdot 2^{-\frac{t}{40}}$$

Разделим обе части уравнения на 272:

$$\frac{17}{272} = 2^{-\frac{t}{40}}$$

$$\frac{1}{16} = 2^{-\frac{t}{40}}$$

$$2^{-4} = 2^{-\frac{t}{40}}$$

Так как основания равны, то приравниваем показатели:

$$-4 = -\frac{t}{40}$$

$$t = 4 \cdot 40$$

$$t = 160 \text{ мин}$$

Ответ: 160