В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. Найдите массу изотопа через 40 минут, если в начальный момент его масса составляла 128 мг. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Определим, сколько периодов полураспада пройдёт за 40 минут.

1. Период полураспада изотопа равен 8 минутам.
2. Время, за которое нужно найти массу, равно 40 минутам.
3. Количество периодов полураспада: \( N = \frac{40 \text{ мин}}{8 \text{ мин}} = 5 \)

Теперь определим массу изотопа через 5 периодов полураспада, зная, что начальная масса составляет 128 мг.

1. Начальная масса: \( m_0 = 128 \) мг.
2. Масса после первого периода полураспада: \( m_1 = \frac{m_0}{2} = \frac{128}{2} = 64 \) мг.
3. Масса после второго периода полураспада: \( m_2 = \frac{m_1}{2} = \frac{64}{2} = 32 \) мг.
4. Масса после третьего периода полураспада: \( m_3 = \frac{m_2}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) мг.
5. Масса после четвёртого периода полураспада: \( m_4 = \frac{m_3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) мг.
6. Масса после пятого периода полураспада: \( m_5 = \frac{m_4}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) мг.

Или можно использовать формулу:

\[ m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\],

где:

• \( m(t) \) — масса через время \( t \);
• \( m_0 \) — начальная масса;
• \( T \) — период полураспада.

Подставляем значения:

\[ m(40) = 128 \text{ мг} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{40}{8}} = 128 \text{ мг} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 128 \text{ мг} \cdot \frac{1}{32} = 4 \text{ мг} \]

Ответ: 4 мг.