В Хогвартсе построили гостиницу для приезжих волшебников. Все этажи и все подъезды в ней устроены одинаково. Дамблдор решил сделать нумерацию комнат шестизначной: первые две цифры означают номер подъезда, вторые две — номер этажа, последние две — номер комнаты на этаже. Определите: а) на каких этажах и в каких подъездах находятся комнаты 150819, 91603, 70707; 112015; б) сколько этажей между комнатами 100118 и 172145; в) сколько этажей и подъездов в гостинице, если 172385 — наибольший номер комнаты в этой гостинице; г) сколько в гостинице всего комнат; д) какие из комнат не могут быть соседними (по какой-нибудь стороне, полу или потолку) ни при каком расположении на этаже: 130827, 160825, 121625, 130920, 121685, 131625; е) какие комнаты из перечисленных в пункте д) обязательно соседние, если нумерация на всех этажах одинакова?

Решение:

Нумерация комнат шестизначная: первые две цифры — номер подъезда, вторые две — номер этажа, последние две — номер комнаты на этаже.

а)

Комнаты:

• 150819: подъезд 15, этаж 08, комната 19.
• 91603: подъезд 91, этаж 60, комната 03.
• 70707: подъезд 70, этаж 70, комната 07.
• 112015: подъезд 11, этаж 20, комната 15.

б)

Чтобы найти количество этажей между комнатами 100118 и 172145, нужно сравнить этажи этих комнат. Номера этажей — 01 и 21. Количество этажей между ними: \( 21 - 1 - 1 = 19 \) этажей.

в)

Наибольший номер комнаты — 172385. Из этого номера узнаем:

• Подъезд: 17
• Этаж: 23
• Комната: 85

Так как этажи и подъезды устроены одинаково, то всего в гостинице 23 этажа и 17 подъездов.

г)

Общее количество комнат в гостинице равно произведению количества подъездов, количества этажей и максимального номера комнаты на этаже.

Всего комнат = \( 17 \text{ подъездов} \times 23 \text{ этажа} \times 99 \text{ комнат на этаже} = 38511 \) комнат.

д)

Комнаты, которые не могут быть соседними (в том числе по полу/потолку), это те, у которых номера на этаже (последние две цифры) отличаются более чем на 1. Рассмотрим номера комнат:

• 130827: подъезд 13, этаж 08, комната 27.
• 160825: подъезд 16, этаж 08, комната 25.
• 121625: подъезд 12, этаж 16, комната 25.
• 130920: подъезд 13, этаж 09, комната 20.
• 121685: подъезд 12, этаж 16, комната 85.
• 131625: подъезд 13, этаж 16, комната 25.

Комнаты 130827 и 130920 не могут быть соседними, так как номера комнат (27 и 20) отличаются более чем на 1, и они находятся на одном этаже (08) в одном подъезде (13). Однако, если рассматривать соседство по полу/потолку, то комнаты на разных этажах, но в одном подъезде и с одинаковым номером комнаты, не могут быть соседями. Например, 130827 и 131625 не могут быть соседями, так как их этажи отличаются, а номера комнат совпадают. Но тут вопрос про соседние комнаты на этаже. Так как в комнате 6 цифр, то последние две - это номер комнаты на этаже. Максимальный номер комнаты на этаже - 99. Если два номера комнат отличаются больше чем на 1, они не могут быть соседями по стене. Но в данном случае, мы имеем ввиду соседние комнаты по коридору.

Для комнат 130827 (27) и 130920 (20) - не могут быть соседними по стене. Но они могут быть соседями по коридору, так как подъезд и этаж разные. Если рассматривать соседство по коридору, то соседними могут быть комнаты с отличающимися номерами комнат. В задании же сказано, что соседними могут быть комнаты, расположенные друг над другом или друг под другом. Если рассматривать соседство по полу или потолку, то комнаты 130827 и 121625 не могут быть соседями, так как у них совпадают номера комнат (25) и они находятся на разных этажах (08 и 16) но в разных подъездах.

Таким образом, из перечисленных комнат, те, что не могут быть соседними по стене на одном этаже — это те, чьи номера комнат (последние две цифры) отличаются более чем на 1. Все перечисленные комнаты имеют номера комнат, отличающиеся более чем на 1. Например, 27 и 20, 25 и 20, 25 и 85, 20 и 85. Но эти комнаты находятся в разных подъездах и этажах. Если комната 130827 находится на 8 этаже 13 подъезда, а 130920 на 9 этаже 13 подъезда, они не могут быть соседями по стене. Таким образом, никакие из перечисленных комнат не могут быть соседними по стене, если рассматривать комнаты на одном этаже.

Однако, если рассматривать соседство по полу или потолку, то комнаты 130827 и 121625 не могут быть соседями, так как номера комнат (27 и 25) отличаются, но этажи (08 и 16) и подъезды (13 и 12) тоже отличаются. Если мы ищем комнаты, которые не могут быть соседями, то это те, у которых номера комнат на этаже отличаются больше чем на 1, И они находятся в одном подъезде и на одном этаже. Все перечисленные пары комнат находятся либо в разных подъездах, либо на разных этажах. Если же рассматривать соседство по стене, полу или потолку, то важно, чтобы они были в одном подъезде. Рассмотрим пары в одном подъезде:

• 130827 и 130920 (подъезд 13). Номера комнат 27 и 20. Не могут быть соседями по стене.
• 121625 и 121685 (подъезд 12). Номера комнат 25 и 85. Не могут быть соседями по стене.
• 131625.

Поэтому, никакие из перечисленных комнат не могут быть соседними по стене, полу или потолку, так как они либо на разных этажах, либо в разных подъездах.

е)

Если нумерация на всех этажах одинакова, то соседними обязательно будут комнаты, у которых последние две цифры отличаются на 1, и они находятся в одном подъезде и на одном этаже. Среди перечисленных комнат, нет таких, которые были бы соседними обязательно.

Но если рассматривать соседство по полу или потолку, то комнаты, находящиеся непосредственно друг под другом или над другом, будут соседними. Это комнаты с одинаковым номером подъезда, одинаковым номером комнаты, но с отличающимися номерами этажей. Среди перечисленных пар, таких нет. Однако, если рассмотреть комнаты 130827 и 130920, они находятся в одном подъезде, но на разных этажах. Если бы их номера комнат были одинаковы, они были бы соседями по полу/потолку. Так как нумерация одинакова на всех этажах, то комната с номером 27 на 8 этаже и комната с номером 27 на 16 этаже (130827 и 131627) не могут быть соседями. Но если бы были две комнаты с одинаковым номером этажа и подъезда, и номера комнат которых отличались бы на 1, они были бы соседями. Так как все комнаты имеют разные номера комнат (последние две цифры), то никакие из них не являются обязательно соседними. Однако, если рассматривать вариант, что соседними могут быть комнаты, находящиеся на разных этажах, но в одном подъезде, и имеющие одинаковый номер комнаты (т.е. соседние по полу/потолку), то это комнаты с одинаковыми первыми четырьмя цифрами, и разными последними двумя, но отличающимися на 1. Таких нет. А если наоборот - одинаковые последние две цифры, но разные первые четыре, тогда они соседи по полу/потолку. Например, 130827 и 131627. Но нам даны конкретные номера. Рассмотрим комнаты 130827 (27) и 121625 (25). Они не соседи. Комнаты 130827 (27) и 131625 (25) тоже не соседи. Если рассматривать соседство по полу/потолку, то это комнаты с одинаковыми номерами подъезда и комнаты, но разными этажами. Среди перечисленных, таковых нет. Таким образом, ни одна из комнат не является обязательно соседней.