В хореографическом коллективе 24 человека. Для новой постановки выбирают трёх солистов с помощью жеребьёвки. Какова вероятность того, что Оля М., входящая в состав коллектива, будет солировать?

Для решения задачи необходимо вычислить вероятность того, что Оля М. окажется в числе выбранных трех солистов из 24 человек.

Всего существует $$C_{24}^3$$ способов выбрать трех солистов из 24 человек. $$C_{n}^k$$ — это число сочетаний из n элементов по k, которое рассчитывается по формуле:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Рассчитаем общее количество способов выбора трех солистов из 24:

$$C_{24}^3 = \frac{24!}{3!(24-3)!} = \frac{24!}{3!21!} = \frac{24 \times 23 \times 22}{3 \times 2 \times 1} = 4 \times 23 \times 22 = 2024$$

Теперь посчитаем количество способов, при которых Оля М. обязательно входит в число солистов. Если Оля М. уже выбрана, то нам нужно выбрать еще 2 солиста из оставшихся 23 человек. Это можно сделать $$C_{23}^2$$ способами:

$$C_{23}^2 = \frac{23!}{2!(23-2)!} = \frac{23!}{2!21!} = \frac{23 \times 22}{2 \times 1} = 23 \times 11 = 253$$

Вероятность того, что Оля М. будет выбрана, равна отношению количества благоприятных исходов (когда Оля М. в числе солистов) к общему количеству возможных исходов:

$$P = \frac{C_{23}^2}{C_{24}^3} = \frac{253}{2024} = \frac{23 \times 11}{4 \times 11 \times 23 \times 2 / 2} = \frac{11 \cdot 23}{2024} = \frac{253}{2024} = \frac{11}{88} = \frac{3}{24}$$

Сокращаем дробь:

$$P = \frac{253}{2024} = \frac{11}{88} = \frac{1}{8}$$

Выразим вероятность в виде десятичной дроби:

$$P = \frac{1}{8} = 0.125$$

Ответ: 0.125