В идеальном колебательном контуре (см. рис.) напряжение между обкладками конденсатора меняется по закону $$u_C = 10 \cdot \sin(10000t + \pi)$$. Максимальное значение силы тока в контуре $$I_{max} = 0,1$$ А. Определите индуктивность катушки.

Question

Вопрос:

В идеальном колебательном контуре (см. рис.) напряжение между обкладками конденсатора меняется по закону $$u_C = 10 \cdot \sin(10000t + \pi)$$. Максимальное значение силы тока в контуре $$I_{max} = 0,1$$ А. Определите индуктивность катушки.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

В идеальном колебательном контуре напряжение на конденсаторе и сила тока связаны соотношением:

$ u_C = U_m \sin(\omega t + \phi) $, где $ U_m $ — максимальное напряжение, $ \omega $ — циклическая частота.

Из данного закона $ u_C = 10 \cdot \sin(10000t + \pi) $ видно, что максимальное напряжение на конденсаторе $ U_m = 10 $ В, а циклическая частота $ \omega = 10000 $ рад/с.

Максимальная сила тока в контуре связана с максимальным напряжением на конденсаторе через сопротивление конденсатора $ X_C $:

$ I_{max} = \frac{U_m}{X_C} $

где $ X_C = \frac{1}{\omega C} $.

Следовательно, $ I_{max} = U_m \omega C $.

Из этого уравнения найдем ёмкость конденсатора $ C $:

$ C = \frac{I_{max}}{U_m \omega} = \frac{0,1 \text{ А}}{10 \text{ В} \cdot 10000 \text{ рад/с}} = \frac{0,1}{100000} \text{ Ф} = 10^{-6} \text{ Ф} = 1 \text{ мкФ} $.

В идеальном колебательном контуре энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора в момент максимального тока и напряжения:

$ \frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2} $

$ L I_{max}^2 = C U_m^2 $

Выразим индуктивность катушки $ L $:

$ L = \frac{C U_m^2}{I_{max}^2} $

Подставим известные значения:

$ L = \frac{10^{-6} \text{ Ф} \cdot (10 \text{ В})^2}{(0,1 \text{ А})^2} = \frac{10^{-6} \cdot 100}{0,01} \text{ Гн} = \frac{10^{-4}}{10^{-2}} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн} = 0,01 \text{ Гн} $.

Другой способ — использовать связь циклической частоты с индуктивностью и ёмкостью:

$ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} $

$ \omega^2 = \frac{1}{LC} $

$ L = \frac{1}{\omega^2 C} $

Подставим значения $ \omega = 10000 $ рад/с и $ C = 10^{-6} $ Ф:

$ L = \frac{1}{(10000)^2 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{10^8 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01 \text{ Гн} $.

Ответ: 0,01 Гн.