В игре на столе лежит 5 кучек, в каждой по несколько орехов. За ход любую кучку можно разделить на две меньшие, непустые кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. За кого играть мистеру Фоксу, если на столе 5 кучек, в каждой по 5 орехов?

Обозначим через g(n) число, характеризующее позицию с одной кучкой из n орехов: это наименьшее неотрицательное число, которое не получается как исключающее ИЛИ значений для кучек после одного хода.

1. Кучку из 1 ореха разделить нельзя, поэтому g(1) = 0.
2. Для 2 орехов единственный ход — разделить кучку на 1 и 1. Получаем g(2) = 1.
3. Для 3 орехов единственный вариант — 1 и 2, поэтому g(3) = 0.
4. Кучку из 4 орехов можно разделить на 1 и 3 или на 2 и 2. В обоих случаях исключающее ИЛИ значений равно 0, значит g(4) = 1.
5. Кучку из 5 орехов можно разделить на 1 и 4 или на 2 и 3. В обоих случаях исключающее ИЛИ равно 1, поэтому g(5) = 0.
6. Для пяти кучек из 5 орехов исключающее ИЛИ равно 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 0. Это проигрышная позиция для того, кто ходит первым: после любого его хода соперник может вернуть позицию с исключающим ИЛИ 0.

Ответ: мистеру Фоксу следует играть за второго игрока.