В институте 9 500 студентов. Каждый студент изучает хотя бы один из двух иностранных языков: английский или французский. Английский язык изучают 70% студентов, а 40% — французский. Сколько студентов изучают оба языка? Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть $$A$$ - множество студентов, изучающих английский язык, а $$F$$ - множество студентов, изучающих французский язык. Из условия задачи известно: Общее количество студентов: $$N = 9500$$ Количество студентов, изучающих английский: $$|A| = 0.7 cdot 9500 = 6650$$ Количество студентов, изучающих французский: $$|F| = 0.4 cdot 9500 = 3800$$ Каждый студент изучает хотя бы один язык, значит: $$|A \cup F| = N = 9500$$ Используем формулу включений-исключений: $$|A \cup F| = |A| + |F| - |A \cap F|$$ Где $$|A \cap F|$$ - количество студентов, изучающих оба языка. Подставим известные значения: $$9500 = 6650 + 3800 - |A \cap F|$$ $$9500 = 10450 - |A \cap F|$$ $$|A \cap F| = 10450 - 9500$$ $$|A \cap F| = 950$$ Ответ: 950 студентов изучают оба языка. Развёрнутый ответ: Чтобы решить эту задачу, нужно понять, что сумма процентов изучающих английский и французский языки превышает 100%. Это означает, что часть студентов изучает оба языка. Используя формулу включений-исключений, мы можем найти количество студентов, изучающих оба языка. Сначала находим количество студентов, изучающих каждый язык в отдельности, умножая общее количество студентов на соответствующий процент. Затем используем формулу для объединения двух множеств, чтобы найти количество студентов, изучающих оба языка.