В институте 9 500 студентов. Каждый студент изучает хотя один из двух иностранных языков: английский или франц ский. Английский язык изучают 70% студентов, а 40% - фран цузский. Сколько студентов изучают оба языка? Запишите ре шение и ответ.

Решение:

Пусть:

• \(A\) - множество студентов, изучающих английский язык.
• \(F\) - множество студентов, изучающих французский язык.
• \(N\) - общее количество студентов в институте.
• \(|A|\) - количество студентов, изучающих английский язык.
• \(|F|\) - количество студентов, изучающих французский язык.
• \(|A \cap F|\) - количество студентов, изучающих оба языка.

По условию задачи:

• \(N = 9500\)
• \(|A| = 0.70 \cdot N = 0.70 \cdot 9500 = 6650\)
• \(|F| = 0.40 \cdot N = 0.40 \cdot 9500 = 3800\)

Каждый студент изучает хотя бы один язык, значит:

\[|A \cup F| = N\]

Используем формулу включений-исключений:

\[|A \cup F| = |A| + |F| - |A \cap F|\]

Подставим известные значения:

\[9500 = 6650 + 3800 - |A \cap F|\]

Решим уравнение относительно \(|A \cap F|\):

\[|A \cap F| = 6650 + 3800 - 9500\]\[|A \cap F| = 10450 - 9500\]\[|A \cap F| = 950\]

Ответ: 950 студентов изучают оба языка.