В институте 8000 студентов. Каждый студент изучает хотя бы один из двух иностранных языков: английский или немецкий. Английский язык изучают 70% студентов, а 50% — немецкий. Сколько студентов изучают оба языка? Запишите решение и ответ.

1. Пусть $$A$$ - множество студентов, изучающих английский язык, а $$N$$ - множество студентов, изучающих немецкий язык. Общее число студентов $$|U| = 8000$$.
2. $$|A| = 0.70 imes 8000 = 5600$$. $$|N| = 0.50 imes 8000 = 4000$$.
3. По условию, каждый студент изучает хотя бы один язык, значит $$|A ext{ or } N| = |U| = 8000$$.
4. Используем формулу включения-исключения: $$|A ext{ or } N| = |A| + |N| - |A ext{ and } N|$$.
5. $$8000 = 5600 + 4000 - |A ext{ and } N|$$.
6. $$|A ext{ and } N| = 9600 - 8000 = 1600$$.
Ответ: 1600 студентов изучают оба языка.