В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — натуральное число. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга; в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей: июль 2016 — S, июль 2017 — 0,7S, июль 2018 — 0,55S, июль 2019 — 0,3S, июль 2020 — 0. Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет составлять целое число миллионов рублей.

Рассчитаем сумму выплат за каждый год. В январе долг увеличивается на 25%, поэтому к долгу на начало года применяется множитель \(1{,}25\).

1. За первый год долг увеличился до \(1{,}25S\), а к июлю должен стать \(0{,}7S\). Выплаты составили: \(1{,}25S-0{,}7S=0{,}55S\).
2. За второй год выплаты составили: \(1{,}25\cdot0{,}7S-0{,}55S=0{,}875S-0{,}55S=0{,}325S\).
3. За третий год выплаты составили: \(1{,}25\cdot0{,}55S-0{,}3S=0{,}6875S-0{,}3S=0{,}3875S\).
4. За четвёртый год выплаты составили: \(1{,}25\cdot0{,}3S-0=0{,}375S\).

Общая сумма выплат:

\[0{,}55S+0{,}325S+0{,}3875S+0{,}375S=1{,}6375S=\frac{131}{80}S.\]

Так как \(S\) — натуральное число, а числа 131 и 80 взаимно просты, для получения целого числа миллионов рублей значение \(S\) должно делиться на 80.

Ответ: \(S=80\).