В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на сумму 630 тыс. рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом; в июле 2031, 2032 и 2033 годов долг остаётся равным 630 тыс. рублей; платежи в 2034 и 2035 годах равны; к июлю 2035 года долг будет выплачен полностью. Найдите r, если известно, что общая сумма платежей составит 915 тыс. рублей.

Обозначим долю увеличения долга через \(i=\frac{r}{100}\).

1. В 2031, 2032 и 2033 годах долг после платежа снова равен 630 тыс. рублей. Значит, каждый из этих трёх платежей покрывает только январское увеличение долга и равен \(630i\) тыс. рублей.

2. Пусть каждый из двух равных платежей в 2034 и 2035 годах равен \(P\) тыс. рублей. После платежа 2033 года долг равен 630 тыс. рублей, поэтому после январского увеличения 2034 года и платежа остаток долга составит \(630(1+i)-P\).

3. В январе 2035 года этот остаток увеличится в \(1+i\) раз. Последний платёж полностью погашает долг, следовательно, \(P=(630(1+i)-P)(1+i)\). Отсюда \(P=\frac{630(1+i)^2}{2+i}\).

4. Общая сумма платежей равна 915 тыс. рублей:

   \(3\cdot630i+2P=915\).

   Подставим выражение для \(P\): \(1890i+\frac{1260(1+i)^2}{2+i}=915\).

5. После упрощения получаем \(210i^2+359i-38=0\). Дискриминант равен \(359^2+4\cdot210\cdot38=401^2\), поэтому \(i=\frac{-359+401}{420}=0.1\). Второй корень отрицателен и не подходит для условия о росте долга.

6. Поскольку \(r=100i\), получаем \(r=10\).

Проверка: платежи в 2031–2033 годах составляют по 63 тыс. рублей. Платёж в каждом из 2034 и 2035 годов равен \(630\cdot1.1^2/2.1=363\) тыс. рублей. Сумма платежей: \(3\cdot63+2\cdot363=915\) тыс. рублей.

Ответ: 10%.