В июле некоторого года было 4 понедельника и 4 пятницы. Каким днём недели могло быть 15 июля указанного года? Перечислите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Решение:

В июле 31 день. Если в месяце 4 понедельника и 4 пятницы, значит, эти дни недели занимают по 4 полные недели (4 * 7 = 28 дней). Оставшиеся 3 дня месяца (31 - 28 = 3) приходятся на 4 полных недели и остаток. Эти 3 дня должны быть одними и теми же днями недели, если они следуют друг за другом. То есть, это может быть пятница, суббота, воскресенье; суббота, воскресенье, понедельник; воскресенье, понедельник, вторник; понедельник, вторник, среда; вторник, среда, четверг; среда, четверг, пятница.

Условие гласит, что понедельников 4 и пятниц 4. Это означает, что 4 понедельника и 4 пятницы уже были в предыдущие 28 дней. Остаются 3 дня месяца.

Рассмотрим возможные варианты начала месяца:

1. Если 1-е июля - понедельник: В месяце 5 понедельников (1, 8, 15, 22, 29), 5 вторников, 5 сред, 4 четверга, 4 пятницы, 4 субботы, 4 воскресенья. Не подходит, т.к. пятниц 4, а понедельников 5.
2. Если 1-е июля - вторник: 4 понедельника (2, 9, 16, 23, 30), 5 вторников, 4 среды, 4 четверга, 4 пятницы, 4 субботы, 4 воскресенья. Не подходит, т.к. пятниц 4, а понедельников 5.
3. Если 1-е июля - среда: 4 понедельника (3, 10, 17, 24, 31), 4 вторника, 5 сред, 4 четверга, 4 пятницы, 4 субботы, 4 воскресенья. Не подходит, т.к. пятниц 4, а понедельников 5.
4. Если 1-е июля - четверг: 4 понедельника (4, 11, 18, 25), 4 вторника, 4 среды, 5 четвергов, 4 пятницы, 4 субботы, 4 воскресенья. Не подходит, т.к. пятниц 4, а понедельников 4.
5. Если 1-е июля - пятница: 4 понедельника (5, 12, 19, 26), 4 вторника, 4 среды, 4 четверга, 5 пятниц (1, 8, 15, 22, 29), 4 субботы, 4 воскресенья. Не подходит, т.к. пятниц 5, а понедельников 4.
6. Если 1-е июля - суббота: 4 понедельника (6, 13, 20, 27), 4 вторника, 4 среды, 4 четверга, 4 пятницы (7, 14, 21, 28), 5 суббот, 4 воскресенья. Не подходит, т.к. пятниц 4, а понедельников 4.
7. Если 1-е июля - воскресенье: 4 понедельника (7, 14, 21, 28), 4 вторника, 4 среды, 4 четверга, 4 пятницы (2, 9, 16, 23, 30), 4 субботы, 5 воскресений. Не подходит, т.к. пятниц 4, а понедельников 4.

Давайте переформулируем: если в месяце 31 день, то ровно 4 дня недели встречаются 5 раз, а остальные 3 дня — 4 раза. В нашем случае 4 понедельника и 4 пятницы. Значит, понедельник и пятница — это дни, которые встречаются 4 раза. А три дня, которые встречаются 5 раз, должны быть днями, идущими друг за другом и включающими в себя понедельник и пятницу, либо днями, следующими за ними. Это значит, что 3 дня, которые встречаются 5 раз, — это дни с понедельника по среду, или со вторника по четверг, или со среды по пятницу, или с четверга по субботу, или с пятницы по воскресенье, или с субботы по понедельник, или с воскресенья по вторник.

Условие: 4 понедельника и 4 пятницы. Это значит, что понедельник и пятница — дни, которые встречаются 4 раза. Следовательно, дни, которые встречаются 5 раз, — это дни, идущие между пятницей и понедельником, или дни, идущие после понедельника и перед пятницей.

Рассмотрим месяца с 31 днем. В таком месяце 3 дня будут повторяться 5 раз, а 4 дня — 4 раза. Условие, что понедельников 4 и пятниц 4, означает, что дни, которые встречаются 5 раз, — это те дни, которые идут между пятницей и понедельником, или дни, которые идут после понедельника и перед пятницей. Это значит, что дни, которые повторяются 5 раз, — это вторник, среда, четверг.

Следовательно, 1-е июля должно быть вторником, средой или четвергом.

Вариант 1: 1 июля — вторник.

• Понедельники: 2, 9, 16, 23, 30 (5 понедельников). Это противоречит условию.

Вариант 2: 1 июля — среда.

• Понедельники: 3, 10, 17, 24, 31 (5 понедельников). Это противоречит условию.

Вариант 3: 1 июля — четверг.

• Понедельники: 4, 11, 18, 25 (4 понедельника).
• Пятницы: 6, 13, 20, 27 (4 пятницы).
• Это условие выполнено.

Теперь определим, каким днём недели могло быть 15 июля, если 1 июля — четверг.

1 июля — четверг

8 июля — четверг

15 июля — четверг

Вариант 4: 1 июля — пятница.

• Пятницы: 1, 8, 15, 22, 29 (5 пятниц). Это противоречит условию.

Вариант 5: 1 июля — суббота.

• Пятницы: 7, 14, 21, 28 (4 пятницы).
• Понедельники: 6, 13, 20, 27 (4 понедельника).
• Это условие выполнено.

Теперь определим, каким днём недели могло быть 15 июля, если 1 июля — суббота.

1 июля — суббота

8 июля — суббота

15 июля — суббота

Вариант 6: 1 июля — воскресенье.

• Пятницы: 2, 9, 16, 23, 30 (5 пятниц). Это противоречит условию.

Вариант 7: 1 июля — понедельник.

• Понедельники: 1, 8, 15, 22, 29 (5 понедельников). Это противоречит условию.

Итак, у нас есть два варианта, когда в июле 4 понедельника и 4 пятницы:

1. 1 июля — четверг. Тогда 15 июля — четверг.
2. 1 июля — суббота. Тогда 15 июля — суббота.

Проверим ещё раз. В июле 31 день. Это 4 полных недели (28 дней) и 3 дня. В этих 3 дня 4 дня недели встретятся 5 раз, а 3 дня — 4 раза. Если понедельников 4 и пятниц 4, то именно эти дни недели встречаются 4 раза. Значит, 5 раз встречаются дни, которые не являются понедельниками и пятницами. Эти 5 дней должны быть непрерывными. Возможные последовательности дней, которые встречаются 5 раз:

• Понедельник, вторник, среда (если пятница и суббота 4 раза)
• Вторник, среда, четверг (если понедельник и пятница 4 раза)
• Среда, четверг, пятница (если суббота и воскресенье 4 раза)
• Четверг, пятница, суббота (если воскресенье и понедельник 4 раза)
• Пятница, суббота, воскресенье (если понедельник и вторник 4 раза)
• Суббота, воскресенье, понедельник (если вторник и среда 4 раза)
• Воскресенье, понедельник, вторник (если среда и четверг 4 раза)

Нам подходит только случай, когда понедельник и пятница встречаются 4 раза. Это соответствует варианту: Вторник, среда, четверг встречаются 5 раз, а понедельник, пятница, суббота, воскресенье — 4 раза.

Значит, 1-е число месяца должно быть таким, чтобы вторник, среда, четверг выпали 5 раз. Это произойдет, если 1-е июля будет:

• Вторник: Вторник (1, 8, 15, 22, 29), среда (2, 9, 16, 23, 30), четверг (3, 10, 17, 24, 31). Понедельник (2, 9, 16, 23, 30) — 5 раз. Не подходит.
• Среда: Среда (1, 8, 15, 22, 29), четверг (2, 9, 16, 23, 30), пятница (3, 10, 17, 24, 31). Понедельник (4, 11, 18, 25) — 4 раза. Пятница (3, 10, 17, 24, 31) — 5 раз. Не подходит.
• Четверг: Четверг (1, 8, 15, 22, 29), пятница (2, 9, 16, 23, 30), суббота (3, 10, 17, 24, 31). Понедельник (4, 11, 18, 25) — 4 раза. Пятница (2, 9, 16, 23, 30) — 5 раз. Не подходит.

Изменим подход. Если в месяце 31 день, то 3 дня недели будут повторяться 5 раз, а 4 дня — 4 раза. Нам дано, что понедельников 4 и пятниц 4. Значит, понедельник и пятница — это дни, которые встречаются 4 раза.

Рассмотрим возможные комбинации дней, которые встречаются 5 раз:

1. Пн, Вт, Ср: тогда Чт, Пт, Сб, Вс — 4 раза. (Пятница — 4 раза, Понедельник — 5 раз). Не подходит.
2. Вт, Ср, Чт: тогда Пн, Пт, Сб, Вс — 4 раза. (Пятница — 4 раза, Понедельник — 4 раза). Это подходит.
3. Ср, Чт, Пт: тогда Пн, Вт, Сб, Вс — 4 раза. (Пятница — 5 раз, Понедельник — 4 раза). Не подходит.
4. Чт, Пт, Сб: тогда Пн, Вт, Ср, Вс — 4 раза. (Пятница — 5 раз, Понедельник — 4 раза). Не подходит.
5. Пт, Сб, Вс: тогда Пн, Вт, Ср, Чт — 4 раза. (Пятница — 5 раз, Понедельник — 4 раза). Не подходит.
6. Сб, Вс, Пн: тогда Вт, Ср, Чт, Пт — 4 раза. (Пятница — 4 раза, Понедельник — 5 раз). Не подходит.
7. Вс, Пн, Вт: тогда Ср, Чт, Пт, Сб — 4 раза. (Пятница — 4 раза, Понедельник — 5 раз). Не подходит.

Итак, единственная возможность — это когда вторник, среда и четверг встречаются 5 раз, а понедельник, пятница, суббота, воскресенье — 4 раза.

Это означает, что 1-е июля должно быть таким днём, чтобы вторник, среда, четверг выпали 5 раз. Это произойдет, если 1-е июля будет:

1. Вторником. Тогда вторники: 1, 8, 15, 22, 29. Среды: 2, 9, 16, 23, 30. Четверги: 3, 10, 17, 24, 31. Понедельник: 2, 9, 16, 23, 30 (5 раз). Это противоречит условию.

2. Средой. Тогда среды: 1, 8, 15, 22, 29. Четверги: 2, 9, 16, 23, 30. Пятницы: 3, 10, 17, 24, 31 (5 раз). Это противоречит условию.

3. Четвергом. Тогда четверги: 1, 8, 15, 22, 29. Пятницы: 2, 9, 16, 23, 30 (5 раз). Это противоречит условию.

Попробуем с другой стороны. Пусть 15 июля — это X день недели. Тогда 1 июля — это X - 14 дней недели = X день недели. То есть 1 июля и 15 июля — один и тот же день недели.

Если в месяце 31 день, то 3 дня недели будут встречаться 5 раз, а 4 дня — 4 раза. Нам дано, что понедельников 4 и пятниц 4. Значит, дни, которые встречаются 5 раз, — это дни, которые не являются понедельником и пятницей. Значит, дни, которые встречаются 5 раз, — это вторник, среда, четверг.

Это означает, что 1-е июля должно быть таким днём, чтобы вторник, среда, четверг выпали 5 раз. То есть, 1-е июля может быть:

• Вторником: вторники (1, 8, 15, 22, 29), среды (2, 9, 16, 23, 30), четверги (3, 10, 17, 24, 31). В этом случае понедельников будет 5 (2, 9, 16, 23, 30), а пятниц 4 (7, 14, 21, 28). Это противоречит условию (4 понедельника).
• Средой: среды (1, 8, 15, 22, 29), четверги (2, 9, 16, 23, 30), пятницы (3, 10, 17, 24, 31). В этом случае понедельников будет 4 (4, 11, 18, 25), а пятниц 5. Это противоречит условию (4 пятницы).
• Четвергом: четверги (1, 8, 15, 22, 29), пятницы (2, 9, 16, 23, 30), субботы (3, 10, 17, 24, 31). В этом случае понедельников будет 4 (4, 11, 18, 25), а пятниц 5. Это противоречит условию (4 пятницы).

Явно есть недопонимание. Давайте вернемся к началу. В июле 31 день. Если понедельников 4 и пятниц 4, то эти дни встречаются 4 раза. Значит, 3 дня недели встречаются 5 раз. Эти 3 дня недели должны быть днями, которые идут подряд. Например, если понедельник и пятница встречаются 4 раза, то дни, которые встречаются 5 раз, — это вторник, среда, четверг. Это значит, что 1-е число месяца должно быть таким, чтобы вторник, среда, четверг выпали 5 раз. Это возможно, если 1-е число месяца — это вторник, среда или четверг.

Случай 1: 1 июля — вторник.

Дни месяца: 1 (вт), 2 (ср), 3 (чт), 4 (пт), 5 (сб), 6 (вс), 7 (пн).

Понедельники: 7, 14, 21, 28 (4 понедельника).

Пятницы: 4, 11, 18, 25 (4 пятницы).

Это условие выполнено! Если 1 июля — вторник, то 15 июля будет: 1 июля (вторник) + 14 дней = 15 июля. 14 дней — это ровно 2 недели. Следовательно, 15 июля будет тем же днем недели, что и 1 июля, то есть вторником.

Случай 2: 1 июля — среда.

Дни месяца: 1 (ср), 2 (чт), 3 (пт), 4 (сб), 5 (вс), 6 (пн), 7 (вт).

Понедельники: 6, 13, 20, 27 (4 понедельника).

Пятницы: 3, 10, 17, 24, 31 (5 пятниц). Это противоречит условию.

Случай 3: 1 июля — четверг.

Дни месяца: 1 (чт), 2 (пт), 3 (сб), 4 (вс), 5 (пн), 6 (вт), 7 (ср).

Понедельники: 5, 12, 19, 26 (4 понедельника).

Пятницы: 2, 9, 16, 23, 30 (5 пятниц). Это противоречит условию.

Получается, что единственным днем недели, которым могло быть 1 июля, является вторник. Тогда 15 июля тоже будет вторником.

Проверим последний раз. Если 1 июля — вторник, то 15 июля — вторник. Дни недели в июле: Вт(1,8,15,22,29), Ср(2,9,16,23,30), Чт(3,10,17,24,31), Пт(4,11,18,25), Сб(5,12,19,26), Вс(6,13,20,27), Пн(7,14,21,28).

Количество понедельников: 4. Количество пятниц: 4. Условие выполнено. Таким образом, 15 июля могло быть только вторником.

Других вариантов нет, так как мы перебрали все возможные дни недели для 1 июля, исходя из условия, что в месяце 4 понедельника и 4 пятницы.

Ответ: 15 июля могло быть вторником.