2. В Изумрудном городе шесть площадей. Каждая площадь соединена улицами ровно с тремя другими площадями. Никакие две улицы в городе не пересекаются. а) Начертите возможный план Изумрудного города. б) Можно ли устроить экскурсию по всем улицам и площадям Изумрудного города, не проходя ни по одной улице дважды?

a) Возможный план Изумрудного города: Представим шесть площадей как шесть точек. Каждая площадь должна быть соединена с тремя другими. Один из возможных вариантов - нарисовать шестиугольник и соединить каждую вершину (площадь) с двумя соседними. Затем каждую вершину соединить с противоположной. Таким образом, каждая площадь будет связана с тремя другими, и никакие улицы (линии) не будут пересекаться. б) Можно ли устроить экскурсию по всем улицам и площадям Изумрудного города, не проходя ни по одной улице дважды? Для ответа на этот вопрос нужно вспомнить теорию графов. Если возможно пройти по всем ребрам графа (улицам города) ровно один раз, то такой путь называется эйлеровым путем. Эйлеров путь существует, если в графе не более двух вершин (площадей) с нечетной степенью (количеством улиц, выходящих из площади). В данном случае, у каждой площади степень равна 3 (нечетная). Так как в городе шесть площадей (все с нечетной степенью), то эйлерова пути не существует. Следовательно, невозможно устроить экскурсию по всем улицам и площадям Изумрудного города, не проходя ни по одной улице дважды. **Развернутый ответ для школьника:** Представь, что Изумрудный город состоит из шести площадей, которые соединены дорогами (улицами). Из каждой площади выходит ровно три дороги. Нам нужно нарисовать план этого города. а) Рисуем шестиугольник, где каждая вершина - это площадь. Соединяем каждую площадь (вершину) с двумя соседними. Теперь из каждой площади выходит по две дороги. Чтобы из каждой площади выходило три дороги, соединяем каждую площадь с той, что находится напротив нее. б) Теперь нужно выяснить, можно ли обойти весь город так, чтобы не проходить по одной и той же дороге дважды. В математике это называется "эйлеров путь". Если в городе больше двух мест, из которых выходит нечетное количество дорог, то такой путь невозможен. В нашем городе из каждой площади выходит три дороги (нечетное число), и таких площадей шесть. Значит, нельзя пройти по всем дорогам, не повторяясь.