В качестве рабочего тела в тепловой машине используется идеальный одноатомный газ, который совершает циклический процесс, состоящий из изобарного нагревания (1→2), изохорного охлаждения (2→3) и адиабатного сжатия (3→1). КПД этой тепловой машины η = 20%. Найдите отношение работы А12, совершенной газом в изобарном процессе, к работе А'31, совершенной над газом при адиабатном сжатии.

Question

Вопрос:

В качестве рабочего тела в тепловой машине используется идеальный одноатомный газ, который совершает циклический процесс, состоящий из изобарного нагревания (1→2), изохорного охлаждения (2→3) и адиабатного сжатия (3→1). КПД этой тепловой машины η = 20%. Найдите отношение работы А12, совершенной газом в изобарном процессе, к работе А'31, совершенной над газом при адиабатном сжатии.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай разберемся с этой задачей по физике. Здесь нам нужно найти отношение работы в двух разных процессах тепловой машины.

Дано:

Рабочее тело: идеальный одноатомный газ.
Процесс: 1→2 (изобарное нагревание), 2→3 (изохорное охлаждение), 3→1 (адиабатное сжатие).
КПД (η): 20% = 0.2

Найти:

Отношение работы $$A_{12}$$ к работе $$A'_{31}$$: $$\frac{A_{12}}{A'_{31}}$$

Решение:

Для начала вспомним, что такое КПД тепловой машины. КПД — это отношение полезной работы к полученному теплу:

$$ \eta = \frac{A_{пол}}{Q_{пол}} $$

В нашем случае полезная работа — это работа, совершаемая газом за цикл. Работа газа равна разности между теплом, полученным от нагревателя, и теплом, отданным холодильнику.

$$ A_{пол} = Q_{нагр} - Q_{хол} $$

Теперь распишем работу и тепло для каждого участка цикла:

Участок 1→2 (изобарное нагревание):

Работа $$A_{12}$$: Так как процесс изобарный (давление постоянно), работа равна произведению давления на изменение объема:

$$ A_{12} = P_1 (V_2 - V_1) $$

Тепло $$Q_{12}$$: Для одноатомного газа при постоянном давлении $$Q = \frac{5}{2} n R \Delta T$$. Так как $$P V = n R T$$, то $$n R \Delta T = P_1 V_2 - P_1 V_1$$.

$$ Q_{12} = \frac{5}{2} (P_1 V_2 - P_1 V_1) = \frac{5}{2} A_{12} $$

Участок 2→3 (изохорное охлаждение):

Работа $$A_{23}$$: Так как процесс изохорный (объем постоянен), $$V_2 = V_3$$, поэтому изменение объема равно нулю.

$$ A_{23} = P_2 (V_3 - V_2) = 0 $$

Тепло $$Q_{23}$$: При постоянном объеме $$Q = \frac{3}{2} n R \Delta T$$.

$$ Q_{23} = \frac{3}{2} n R (T_3 - T_2) $$

Поскольку $$T_2 > T_3$$, это тепло отдается холодильнику, поэтому $$Q_{хол} = |Q_{23}|$$. В этом процессе газ охлаждается, поэтому $$\Delta T < 0$$. Мы можем выразить $$n R (T_3 - T_2)$$ через давление и объем:

$$ n R (T_3 - T_2) = P_3 V_3 - P_2 V_2 $$

Так как $$V_2 = V_3$$, то

$$ n R (T_3 - T_2) = V_2 (P_3 - P_2) $$

Таким образом,

$$ Q_{23} = \frac{3}{2} V_2 (P_3 - P_2) $$

Участок 3→1 (адиабатное сжатие):

Работа $$A'_{31}$$ (над газом): Для адиабатического процесса $$A = \frac{P_1 V_1 - P_3 V_3}{\gamma - 1}$$. Для одноатомного газа $$\gamma = 5/3$$.

$$ A'_{31} = \frac{P_3 V_1 - P_1 V_3}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{P_3 V_1 - P_1 V_3}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (P_3 V_1 - P_1 V_3) $$

Здесь $$P_1=P_2$$ и $$V_2=V_3$$. Значит, $$P_3 V_1 - P_1 V_3 = P_3 V_2 - P_2 V_2 = V_2 (P_3 - P_2)$$.

$$ A'_{31} = \frac{3}{2} V_2 (P_3 - P_2) $$

Заметим, что $$Q_{31} = 0$$ по определению адиабатического процесса.

Общая работа цикла $$A_{пол}$$:

$$ A_{пол} = A_{12} + A_{23} + A_{31} $$

Работа $$A_{31}$$ (совершенная газом) отрицательна, так как газ сжимается. Работа над газом $$A'_{31}$$ равна $$-A_{31}$$.

$$ A_{31} = -A'_{31} = -\frac{3}{2} V_2 (P_3 - P_2) = \frac{3}{2} V_2 (P_2 - P_3) $$

Следовательно,

$$ A_{пол} = A_{12} + 0 + \frac{3}{2} V_2 (P_2 - P_3) $$

Тепло, полученное от нагревателя $$Q_{нагр}$$:

Тепло получается только на участке 1→2, так как на участке 3→1 тепло не передается, а на участке 2→3 тепло отдается.

$$ Q_{нагр} = Q_{12} = \frac{5}{2} A_{12} $$

Тепло, отданное холодильнику $$Q_{хол}$$:

Тепло отдается на участке 2→3.

$$ Q_{хол} = |Q_{23}| = |\frac{3}{2} V_2 (P_3 - P_2)| = \frac{3}{2} V_2 (P_2 - P_3) $$

Теперь подставим в формулу КПД:

$$ \eta = \frac{A_{пол}}{Q_{нагр}} = \frac{A_{12} + \frac{3}{2} V_2 (P_2 - P_3)}{\frac{5}{2} A_{12}} $$

Также мы знаем, что $$A_{пол} = Q_{нагр} - Q_{хол}$$.

$$ A_{пол} = \frac{5}{2} A_{12} - \frac{3}{2} V_2 (P_2 - P_3) $$

Подставим $$Q_{хол} = A'_{31}$$:

$$ A_{пол} = \frac{5}{2} A_{12} - A'_{31} $$

Используем КПД:

$$ \eta = \frac{\frac{5}{2} A_{12} - A'_{31}}{\frac{5}{2} A_{12}} = 1 - \frac{A'_{31}}{\frac{5}{2} A_{12}} $$

Нам дано $$η = 0.2$$. Подставим:

$$ 0.2 = 1 - \frac{A'_{31}}{\frac{5}{2} A_{12}} $$

Теперь найдем отношение $$\frac{A'_{31}}{A_{12}}$$:

$$ \frac{A'_{31}}{\frac{5}{2} A_{12}} = 1 - 0.2 = 0.8 $$

$$ A'_{31} = 0.8 \times \frac{5}{2} A_{12} = 0.8 \times 2.5 A_{12} = 2 A_{12} $$

Нас просят найти отношение $$A_{12}$$ к $$A'_{31}$$:

$$ \frac{A_{12}}{A'_{31}} = \frac{A_{12}}{2 A_{12}} = \frac{1}{2} = 0.5 $$

Ответ: 0.5