Для решения данного задания применим ПРОТОКОЛ А (Орфография).
- Отрезать ножом. После шипящих в окончаниях существительных под ударением пишется О.
- Жить за границей. После Ц в окончаниях существительных без ударения пишется Е.
- Сражаться мечом. После шипящих в окончаниях существительных под ударением пишется О.
- Перевязать бечёвкой. После шипящих в окончаниях существительных под ударением пишется О, если нельзя подобрать проверочное слово с Е. В данном случае, в слове бечёвка буква Ё находится под ударением, поэтому пишется О.
Ответ: 1) отрезать нож...м, 3) сражаться меч...м