В каком диапазоне может находиться удельное сопротивление металла, если длина провода измерялась с погрешностью ±0,5 см, а сила тока с погрешностью ±0,01 А?

Решение:

Удельное сопротивление \( \rho \) рассчитывается по формуле: \( \rho = \frac{R · S}{L} \), где \( R \) — сопротивление, \( S \) — площадь поперечного сечения, \( L \) — длина.

Сначала найдём сопротивление \( R \) по закону Ома: \( R = \frac{U}{I} \).

Дано:

• Напряжение \( U = 3 \) В.
• Ток \( I = 0,44 \) А с погрешностью \( \Delta I = \pm 0,01 \) А.
• Длина \( L = 30 \) см = 0,3 м с погрешностью \( \Delta L = \pm 0,5 \) см = \( \pm 0,005 \) м.
• Диаметр провода \( d = 0,2 \) мм = \( 0,0002 \) м.
• Площадь поперечного сечения \( S = \frac{\pi d^2}{4} \).

Рассчитаем площадь поперечного сечения:

• \( S = \frac{\pi \cdot (0,0002 \text{ м})^2}{4} \approx \frac{3,14159 · 4 · 10^{-8} \text{ м}^2}{4} \approx 3,14159 · 10^{-8} \text{ м}^2 \)
• Для удобства переведём площадь в \( \text{мм}^2 \): \( S \approx 3,14159 · 10^{-8} \text{ м}^2 · \frac{(1000 \text{ мм})^2}{(1 \text{ м})^2} \approx 3,14159 · 10^{-8} · 10^6 \text{ мм}^2 \approx 0,0314159 \text{ мм}^2 \)

Теперь найдём диапазон значений сопротивления \( R \):

• Минимальный ток: \( I_{min} = 0,44 - 0,01 = 0,43 \) А.
• Максимальный ток: \( I_{max} = 0,44 + 0,01 = 0,45 \) А.
• Минимальное сопротивление: \( R_{min} = \frac{U}{I_{max}} = \frac{3 \text{ В}}{0,45 \text{ А}} \approx 6,67 \) Ом.
• Максимальное сопротивление: \( R_{max} = \frac{U}{I_{min}} = \frac{3 \text{ В}}{0,43 \text{ А}} \approx 6,98 \) Ом.

Теперь найдём диапазон удельного сопротивления \( \rho \). Необходимо учесть погрешности длины и площади. Для упрощения будем использовать максимальные и минимальные значения параметров, которые могут дать максимальное и минимальное удельное сопротивление.

Для удобства вычислений будем использовать единицы Ом·мм²/м. Тогда площадь \( S \approx 0,0314 \text{ мм}^2 \), а длина \( L = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м} \).

Минимальная длина \( L_{min} = 30 - 0,5 = 29,5 \) см = 0,295 м.

Максимальная длина \( L_{max} = 30 + 0,5 = 30,5 \) см = 0,305 м.

Для расчета границ \( \rho \) будем использовать относительные погрешности:

• \( \frac{\Delta L}{L} = \frac{0,5 \text{ см}}{30 \text{ см}} \approx 0,0167 \)
• \( \frac{\Delta I}{I} = \frac{0,01 \text{ А}}{0,44 \text{ А}} \approx 0,0227 \)

Относительная погрешность сопротивления: \( \frac{\Delta R}{R} \approx \frac{\Delta I}{I} \approx 0,0227 \).

\( \rho = \frac{R · S}{L} \). Удельное сопротивление будет иметь максимальное значение, когда \( R \) и \( S \) максимальны, а \( L \) минимально. И наоборот, минимальное значение, когда \( R \) и \( S \) минимальны, а \( L \) максимальна. Для упрощения будем считать, что погрешность площади равна нулю, так как диаметр измерен с высокой точностью, и фокусироваться на погрешностях силы тока и длины.

Рассчитаем значение \( \rho \) при средних значениях:

• \( R_{avg} = \frac{3}{0,44} \approx 6,818 \) Ом.
• \( \rho_{avg} = \frac{R_{avg} · S}{L_{avg}} = \frac{6,818 · 0,0314159 \text{ мм}^2}{0,3 \text{ м}} \approx 0,713 \text{ Ом} · \text{мм}^2/\text{м} \)

Теперь найдём границы диапазона удельного сопротивления, учитывая погрешности:

Максимальное \( \rho \):

• \( R_{max} = \frac{U}{I_{min}} = \frac{3}{0,43} \approx 6,977 \) Ом.
• \( L_{min} = 0,295 \) м.
• \( \rho_{max} = \frac{R_{max} · S}{L_{min}} = \frac{6,977 · 0,0314159}{0,295} \approx 7,42 \text{ Ом} · \text{мм}^2/\text{м} \)

Минимальное \( \rho \):

• \( R_{min} = \frac{U}{I_{max}} = \frac{3}{0,45} \approx 6,667 \) Ом.
• \( L_{max} = 0,305 \) м.
• \( \rho_{min} = \frac{R_{min} · S}{L_{max}} = \frac{6,667 · 0,0314159}{0,305} \approx 6,86 \text{ Ом} · \text{мм}^2/\text{м} \)

Таким образом, удельное сопротивление может находиться в диапазоне от ~6,86 до ~7,42 Ом·мм²/м.

Ответ: 6,86 < \( \rho \) < 7,42.