Рассмотрим каждое предложение:
1. "Мне стало жаль старика, я твёрдо решил остаться в родительском доме и не думать более о морских путешествиях."
В данном предложении союз "и" соединяет однородные члены (остаться и не думать) в составе второй части сложносочиненного предложения. Запятая перед союзом "и", соединяющим однородные члены, не ставится, если нет повторяющихся союзов.
*Мне стало жаль старика, я твёрдо решил остаться в родительском доме* - это грамматическая основа первого предложения. *И не думать более о морских путешествиях* - это вторая грамматическая основа. В данном предложении союз "и" соединяет однородные сказуемые (решил остаться и не думать), относящиеся к одному подлежащему. Поэтому запятая не нужна.
2. "Тут голос у него задрожал и он тихо прибавил: — Подумай о больной матери."
В данном предложении союз "и" соединяет два простых предложения в составе сложносочиненного. Перед союзом "и" ставится запятая, так как он соединяет две грамматические основы.
*Тут голос у него задрожал* - это первая грамматическая основа.
*Он тихо прибавил* - это вторая грамматическая основа.
Таким образом, запятая нужна перед союзом "и" во втором предложении.
Ответ: Во втором предложении.