Чтобы определить, в каком из предложений на месте пропуска пишется буква Е, нужно вспомнить правила правописания предлогов и наречий, образованных от существительных.
* **В следстви... по делу о пожаре обнаружились ошибки.** Здесь пишется "И", так как это существительное с предлогом "в". Можно вставить слово между предлогом и существительным: в моем следствии.
* **В продолжени... романа будут действовать новые герои.** Здесь пишется "И", так как это существительное с предлогом "в". Можно вставить слово между предлогом и существительным: в долгом продолжении.
* **Впоследстви... он не раз вспоминал об этом.** Здесь пишется "И", так как это наречие, образованное от существительного "последствие" с предлогом "в", пишется слитно.
* **В течени... ночи гроза не раз уходила и возвращалась вновь.** Здесь пишется "Е", так как это предлог, который всегда пишется с буквой "Е" на конце.
Таким образом, правильный ответ: "В течени... ночи гроза не раз уходила и возвращалась вновь."