В каком соотношении будут КПД двигателя лифта при подъёме одного человека или четырёх человек на один и тот же этаж. Массы всех людей считать одинаковыми и равными массе кабины лифта. Ответ запишите десятичной дробью с тремя цифрами после точки.

Решение:

КПД (коэффициент полезного действия) двигателя лифта определяется как отношение полезной работы к затраченной работе:

\[ \eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \times 100\% \]

В данном случае, полезная работа — это работа по подъёму груза (людей и кабины) на высоту \( h \). Затраченная работа — это та работа, которую совершает двигатель, преодолевая силу тяжести и, возможно, трение (которое в данной задаче не учитывается).

Пусть \( m_{кабины} \) — масса кабины лифта, \( m_{человека} \) — масса одного человека. По условию, \( m_{кабины} = m_{человека} \). Обозначим массу кабины и одного человека как \( m \).

Случай 1: Подъём одного человека

• Общая масса груза: \( m_1 = m_{кабины} + m_{человека} = m + m = 2m \)
• Полезная работа: \( A_{полезная1} = (m_1 \times g) \times h = (2m \times g) \times h \)
• Затраченная работа: \( A_{затраченная1} = A_{полезная1} \) (так как мы считаем, что двигатель совершает работу только по подъёму, без учёта трения и других потерь, и КПД = 100% в идеальном случае, но в условии задачи про КПД лифта, а не про КПД подъема. Здесь мы ищем соотношение КПД, а значит, нужно понять, как меняется полезная работа относительно некоторой фиксированной затраченной работы. Однако, если рассматривать КПД как отношение полезной работы к затраченной, то это не совсем корректно, так как затраченная работа будет меняться. Скорее всего, в задаче подразумевается, что КПД самого двигателя (механизма) является постоянной величиной, а сравнивается эффективность использования лифта в целом. Если интерпретировать задачу как сравнение работы, совершаемой для подъема разного количества груза, то при одинаковом КПД эффективность будет одинаковой, т.е. соотношение КПД будет 1:1. Но задача спрашивает про КПД двигателя лифта. Давайте предположим, что КПД двигателя - это некоторая величина \( \eta_{двигателя} \), а \( P_{двигателя} \) - мощность двигателя. Полезная мощность \( P_{полезная} = \frac{A_{полезная}}{t} \). Затраченная мощность \( P_{затраченная} = \frac{A_{затраченная}}{t} \). \( \eta = \frac{P_{полезная}}{P_{затраченная}} \). \( P_{полезная} = (m \times g \times v) \), где \( v \) - скорость подъема. Если скорость подъема постоянна, то \( P_{полезная} \) пропорциональна \( m \). Если \( \eta_{двигателя} \) постоянна, то \( P_{затраченная} = \frac{P_{полезная}}{\eta_{двигателя}} \). Тогда \( P_{затраченная1} \) пропорциональна \( 2m \), а \( P_{затраченная2} \) пропорциональна \( 4m \) (для 4 человек). В таком случае, если \( \eta_{двигателя} \) одинаков, то соотношение \( \eta_1 / \eta_2 \) будет 1.
  Однако, если вопрос стоит о том, как меняется общий КПД системы лифта, то мы можем рассмотреть механическую работу.
  Пусть \( m_к \) - масса кабины, \( m_ч \) - масса человека. По условию \( m_к = m_ч = m \).
  1. Один человек:
  Общий вес = \( m_к + m_ч = m + m = 2m \).
  Полезная работа \( A_1 = (2m)gh \).
  2. Четыре человека:
  Общий вес = \( m_к + 4m_ч = m + 4m = 5m \).
  Полезная работа \( A_2 = (5m)gh \).
  
  Если предположить, что КПД двигателя \( \eta \) одинаков для обоих случаев, то соотношение КПД будет \( \eta_1 / \eta_2 = 1 \).
  Если же задача подразумевает, что затраченная работа \( A_{з} \) это работа, совершаемая двигателем, а \( A_{п} \) - полезная работа (подъём массы), то \( \eta = A_п / A_з \).
  В случае подъема одного человека: \( A_{п1} = (m_к + m_ч)gh = (m+m)gh = 2mgh \).
  В случае подъема четырех человек: \( A_{п2} = (m_к + 4m_ч)gh = (m+4m)gh = 5mgh \).
  
  Если мы рассматриваем КПД как характеристику механизма лифта, который совершает работу, то предполагается, что \( \eta \) постоянна.
  
  Рассмотрим, что такое КПД лифта.
  
  Если \( W_{in} \) - энергия, потребляемая двигателем, а \( W_{out} \) - полезная работа. \( \eta = \frac{W_{out}}{W_{in}} \).
  
  Случай 1 (1 человек):
  \( W_{out1} = (m_к + m_ч)gh = (m+m)gh = 2mgh \).
  Случай 2 (4 человека):
  \( W_{out2} = (m_к + 4m_ч)gh = (m+4m)gh = 5mgh \).
  
  Предполагая, что КПД самого двигателя \( \eta \) остается постоянным, тогда \( W_{in} = \frac{W_{out}}{\eta} \).
  \( W_{in1} = \frac{2mgh}{\eta} \)
  \( W_{in2} = \frac{5mgh}{\eta} \)
  
  В вопросе спрашивается, в каком соотношении будут КПД двигателя лифта. Если КПД двигателя — это характеристика самого двигателя, которая не зависит от нагрузки (при условии, что двигатель справляется), то \( \eta_1 = \eta_2 \).
  
  Важный момент: В задачах на КПД лифта обычно рассматривается механическая работа. Если КПД является константой, то он одинаков.
  
  Давайте переосмыслим. Что такое КПД двигателя лифта? Это отношение полезной работы, совершаемой двигателем, к полной работе, совершаемой двигателем.
  
  Предположим, что \( m_{кабины} = m \) и \( m_{человека} = m \).
  
  1. Подъём одного человека:
  Полезная работа \( A_{п1} \) — работа по подъему массы \( (m_{кабины} + 1 \times m_{человека}) = 2m \) на высоту \( h \).
  \( A_{п1} = (2m)gh \).
  
  2. Подъём четырёх человек:
  Полезная работа \( A_{п2} \) — работа по подъему массы \( (m_{кабины} + 4 \times m_{человека}) = 5m \) на высоту \( h \).
  \( A_{п2} = (5m)gh \).
  
  Если мы рассматриваем КПД как характеристику двигателя, то он должен быть постоянным, если не указано иное (например, зависимость от нагрузки).
  
  Если задача предполагает, что речь идет о соотношении полезной работы к затраченной, и КПД является фиксированным числом, то \( \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} = \text{const} \).
  
  В контексте школьной физики, если КПД двигателя не зависит от нагрузки (в разумных пределах), то \( \text{КПД}_1 = \text{КПД}_2 \).
  
  Тогда соотношение \( \frac{\text{КПД}_1}{\text{КПД}_2} = 1 \).
  
  Ответ должен быть десятичной дробью с тремя цифрами после точки.
  \( 1 = 1.000 \).
  
  Другая интерпретация: Возможно, задача спрашивает, как соотносятся полезная работа в одном случае и в другом, предполагая, что двигатель работает с одинаковой эффективностью. Если так, то соотношение полезных работ:
  \( \frac{A_{п1}}{A_{п2}} = \frac{2mgh}{5mgh} = \frac{2}{5} = 0.4 \).
  Но вопрос именно про КПД двигателя.
  
  Предположим, что КПД двигателя (отношение потребляемой энергии к совершённой работе) постоянен, \( \text{КПД} = \text{const} \).
  Тогда \( \frac{\text{КПД}_1}{\text{КПД}_2} = 1 \).
  
  Ответ в виде десятичной дроби с тремя знаками после точки: 1.000.

Ответ: 1.000