Ответ:

Правильный ответ: 1, 3 и 4.

Запятые нужны на месте цифр 1, 3 и 4, потому что:

1) После слова "дети" нужно выделить запятыми причастный оборот "воспитанные в лучших традициях дворянского общества".
3) После слова "службе" начинается деепричастный оборот "продвигаясь по служебной лестнице", который нужно выделить запятыми.
4) Деепричастный оборот заканчивается перед словом "старались", поэтому ставится запятая.