В какой и пяти схем, представленных на рис. 102, напряжение и ток потребителя выражаются соответственно функциями u=112sin(wt-11°30'), i=2.8sin(wt-48°20'), и каковы параметры этой схемы?

Решение:

Нам даны напряжение \( u = 112\sin(\omega t - 11^{\circ} 30') \) и ток \( i = 2.8\sin(\omega t - 48^{\circ} 20') \).

Из этих выражений определим:

• Амплитуду напряжения: \( U_m = 112 \) В.
• Амплитуду тока: \( I_m = 2.8 \) А.
• Начальную фазу напряжения: \( \varphi_u = -11^{\circ} 30' \).
• Начальную фазу тока: \( \varphi_i = -48^{\circ} 20' \).

Разность фаз между напряжением и током: \( \Delta \varphi = \varphi_u - \varphi_i = (-11^{\circ} 30') - (-48^{\circ} 20') = -11^{\circ} 30' + 48^{\circ} 20' = 36^{\circ} 50' \).

Так как \( \varphi_u > \varphi_i \), то напряжение опережает ток. При такой разности фаз, соответствующей \( 36^{\circ} 50' \), комплексное сопротивление может быть рассчитано по формуле:

\( Z = \frac{U_m}{I_m} = \frac{112}{2.8} = 40 \) Ом.

Для определения параметров схемы (R, \( X_L \), \( X_C \)) воспользуемся зависимостью между \( Z \), \( R \) и \( X = X_L - X_C \):

\( Z^2 = R^2 + X^2 \), где \( X = X_L - X_C \).

Кроме того, тангенс угла сдвига фаз равен:

\( \tan(\Delta \varphi) = \frac{X}{R} \).

Рассчитаем \( \tan(36^{\circ} 50') \). По таблицам или с помощью калькулятора: \( \tan(36^{\circ} 50') \approx 0.75 \).

Теперь можем найти \( R \) и \( X \):

\( X = R \tan(\Delta \varphi) \approx 0.75 R \).

Подставим это в формулу для \( Z \):

\( 40^2 = R^2 + (0.75 R)^2 \)

\( 1600 = R^2 + 0.5625 R^2 \)

\( 1600 = 1.5625 R^2 \)

\( R^2 = \frac{1600}{1.5625} = 1024 \)

\( R = \sqrt{1024} = 32 \) Ом.

Теперь найдём \( X \):

\( X = 0.75 R = 0.75 \times 32 = 24 \) Ом.

Так как \( X = 24 \) Ом (положительное значение), то \( X = X_L - X_C \) и \( X > 0 \). Это означает, что индуктивное сопротивление \( X_L \) больше ёмкостного \( X_C \).

Из условий задач, нам нужно найти схему, где \( R = 32 \) Ом и \( X = 24 \) Ом. Рассмотрим варианты:

1. \( R=40 \) Ом, \( x=0 \) — не подходит.
2. \( R=24 \) Ом, \( x=x_L=32 \) Ом — не подходит.
3. \( R=32 \) Ом, \( x=x_C=24 \) Ом — Здесь \( X = -X_C \), но у нас \( X=24 \) Ом. Это означает, что схема имеет чисто ёмкостное сопротивление, что неверно, т.к. \( \Delta \varphi \neq 90^{\circ} \).
4. \( R=32 \) Ом, \( x=x_L=24 \) Ом — Здесь \( X = X_L \), \( R=32 \) Ом. Это подходит, т.к. \( R = 32 \) Ом и \( X = 24 \) Ом.
5. \( R=0 \), \( x=x_C=40 \) Ом — не подходит.

Следовательно, вариант 4 подходит, где \( R = 32 \) Ом и \( X_L = 24 \) Ом. При этом \( X_C = 0 \) (так как в схеме только индуктивность).

Ответ: 4. Параметры схемы: R = 32 Ом, \( X_L = 24 \) Ом.