В какой момент времени угол между направлениями часовой и минутной стрелок часов впервые за сутки достигнет 77°?

Определим, сколько градусов проходит минутная стрелка за 1 минуту:

$$360^{\circ} : 60 = 6^{\circ}$$.

Определим, сколько градусов проходит часовая стрелка за 1 минуту:

$$30^{\circ} : 60 = 0,5^{\circ}$$.

Узнаем, на сколько градусов минутная стрелка обгоняет часовую за 1 минуту:

$$6^{\circ} - 0,5^{\circ} = 5,5^{\circ}$$.

В 1 час угол между стрелками равен $$30^{\circ}$$.

Найдем, сколько градусов не хватает до $$77^{\circ}$$.

$$77^{\circ} - 30^{\circ} = 47^{\circ}$$.

Вычислим, через сколько минут минутная стрелка приблизится к часовой на $$47^{\circ}$$.

$$47^{\circ} : 5,5^{\circ} \approx 8,5$$.

Округлим до 9 минут.

Тогда угол между стрелками станет 77° в 1 час 9 минут.

Ответ: 1 час 9 минут.