В каждой клетке доски 5 х 5 клеток сидел жук. Затем каждый жук переполз на соседнюю (по стороне) клетку. Докажите, что осталась хотя бы одна пустая клетка.

Решение:

Представим доску 5x5 как шахматную доску, раскрасив клетки в черный и белый цвета, как при игре в шахматы. При такой раскраске соседние клетки (те, что имеют общую сторону) всегда будут разного цвета.

Всего на доске 25 клеток.

Если мы раскрасим доску, то количество клеток одного цвета будет отличаться от количества клеток другого цвета максимум на 1. Так как общее число клеток — нечётное (25), то клеток одного цвета будет 13, а другого — 12. Например, 13 черных и 12 белых, или наоборот.

Каждый жук сидит в своей клетке. Всего жуков 25 (по одному в каждой клетке).

Когда каждый жук переползает на соседнюю клетку (влево, вправо, вверх или вниз), он обязательно переползает с клетки одного цвета на клетку другого цвета.

Рассмотрим, куда могли переползти жуки:

• Жуки, которые изначально сидели на 13 клетках одного цвета (например, черных), переползут на 13 соседних клеток, которые все будут белыми.
• Жуки, которые изначально сидели на 12 клетках другого цвета (например, белых), переползут на 12 соседних клеток, которые все будут черными.

Таким образом, после переползания:

• 13 клеток (которые были белыми) будут заняты жуками, пришедшими с черных клеток.
• 12 клеток (которые были черными) будут заняты жуками, пришедшими с белых клеток.

Всего занято 13 + 12 = 25 клеток.

Но это рассуждение не совсем верное, так как мы не знаем, куда именно переполз жук. Вернемся к раскраске.

Пусть у нас 13 клеток одного цвета (например, черных) и 12 другого (белых).

Каждый жук, сидящий на черной клетке, переползает на белую. Получается, что все 13 черных клеток станут пустыми, а жуки с них займут 13 белых клеток.

Каждый жук, сидящий на белой клетке, переползает на черную. Получается, что все 12 белых клеток станут пустыми, а жуки с них займут 12 черных клеток.

В итоге:

• 13 жуков, сидевших на черных клетках, займут 13 белых клеток.
• 12 жуков, сидевших на белых клетках, займут 12 черных клеток.

Это означает, что все 25 клеток будут заняты.

Пересмотрим условие: