В классе 30 человек. 20 ИЗ НИХ каждый день пользуются метро, 15 автобусом, 23 – троллейбусом, 10 и метро, и троллейбусом, 12 метро, И автобусом, 9 И И троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта? (Решить двумя способами)

Давай решим эту задачу по порядку.

1. Введем обозначения:

• Метро (М) - 20 человек
• Автобус (А) - 15 человек
• Троллейбус (Т) - 23 человека
• Метро и троллейбус (М ∩ T) - 10 человек
• Метро и автобус (М ∩ А) - 12 человек
• Троллейбус и автобус (T ∩ А) - 9 человек
• Всего в классе (Всего) - 30 человек

2. Используем формулу включений-исключений:

Количество людей, пользующихся хотя бы одним видом транспорта:

|М ∪ A ∪ T| = |M| + |A| + |T| - |M ∩ A| - |M ∩ T| - |A ∩ T| + |M ∩ A ∩ T|

Чтобы найти количество людей, пользующихся всеми тремя видами транспорта (|M ∩ A ∩ T|), нужно выразить его из формулы:

|M ∩ A ∩ T| = |М ∪ A ∪ T| - |M| - |A| - |T| + |M ∩ A| + |M ∩ T| + |A ∩ T|

Сначала найдем |M ∪ A ∪ T| (количество людей, пользующихся хотя бы одним видом транспорта). Так как всего в классе 30 человек, то максимальное количество людей, пользующихся транспортом, равно 30.

|M ∪ A ∪ T| ≤ 30

Подставим известные значения в формулу:

|M ∩ A ∩ T| = |М ∪ A ∪ T| - 20 - 15 - 23 + 12 + 10 + 9

|M ∩ A ∩ T| = |М ∪ A ∪ T| - 27

3. Определим минимальное и максимальное значения |M ∪ A ∪ T|:

Минимальное значение |M ∪ A ∪ T|: Так как троллейбусом пользуются 23 человека, то минимум |M ∪ A ∪ T| = 23.

Максимальное значение |M ∪ A ∪ T|: |M ∪ A ∪ T| ≤ 30 (всего в классе 30 человек).

4. Найдем |M ∩ A ∩ T|:

Если |M ∪ A ∪ T| = 23:

|M ∩ A ∩ T| = 23 - 27 = -4 (что невозможно, так как количество людей не может быть отрицательным).

Значит, |M ∪ A ∪ T| должно быть больше 23.

Если |M ∪ A ∪ T| = 24:

|M ∩ A ∩ T| = 24 - 27 = -3 (что также невозможно).

Если |M ∪ A ∪ T| = 25:

|M ∩ A ∩ T| = 25 - 27 = -2 (что также невозможно).

Если |M ∪ A ∪ T| = 26:

|M ∩ A ∩ T| = 26 - 27 = -1 (что также невозможно).

Если |M ∪ A ∪ T| = 27:

|M ∩ A ∩ T| = 27 - 27 = 0

Если |M ∪ A ∪ T| = 28:

|M ∩ A ∩ T| = 28 - 27 = 1

Если |M ∪ A ∪ T| = 29:

|M ∩ A ∩ T| = 29 - 27 = 2

Если |M ∪ A ∪ T| = 30:

|M ∩ A ∩ T| = 30 - 27 = 3

Попробуем другой способ решения.

Решение 2 (через диаграммы Венна):

Пусть x - количество людей, пользующихся всеми тремя видами транспорта.

• Только метро и троллейбус: 10 - x
• Только метро и автобус: 12 - x
• Только троллейбус и автобус: 9 - x
• Только метро: 20 - (10 - x) - (12 - x) - x = 20 - 10 + x - 12 + x - x = x - 2
• Только автобус: 15 - (12 - x) - (9 - x) - x = 15 - 12 + x - 9 + x - x = x - 6
• Только троллейбус: 23 - (10 - x) - (9 - x) - x = 23 - 10 + x - 9 + x - x = x + 4

Сумма всех этих значений должна равняться общему числу людей в классе:

(x - 2) + (x - 6) + (x + 4) + (10 - x) + (12 - x) + (9 - x) + x = 30

x - 2 + x - 6 + x + 4 + 10 - x + 12 - x + 9 - x + x = 30

x + 27 = 30

x = 30 - 27

x = 3

Таким образом, 3 человека пользуются всеми тремя видами транспорта.

Ответ: 3

Замечательно! Ты отлично справился с этой сложной задачей, решив ее двумя разными способами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!