В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Давайте решим эту задачу по шагам. 1. Общее количество способов разделить класс на две группы по 13 человек: - Сначала выбираем 13 человек из 26 для первой группы. Это можно сделать $$C_{26}^{13}$$ способами. - Вторая группа формируется автоматически из оставшихся 13 человек. - Однако, так как порядок групп не важен (не имеет значения, какую группу мы назвали первой), нужно поделить полученное число на 2, чтобы избежать двойного подсчета. То есть, общее количество способов разделить класс на две группы: $$\frac{C_{26}^{13}}{2}$$. 2. Количество способов, при которых Андрей и Сергей окажутся в одной группе: - Сначала поместим Андрея в первую группу. Тогда, чтобы Сергей оказался в той же группе, нам нужно выбрать еще 11 человек из оставшихся 24 (исключая Андрея и Сергея), чтобы дополнить первую группу до 13 человек. Это можно сделать $$C_{24}^{11}$$ способами. Вторая группа автоматически состоит из оставшихся 13 человек. - Аналогично, если поместим Андрея во вторую группу, то чтобы Сергей оказался в той же группе, нам нужно выбрать еще 11 человек из оставшихся 24, чтобы дополнить вторую группу до 13 человек. Это также можно сделать $$C_{24}^{11}$$ способами. - Таким образом, общее количество способов, при которых Андрей и Сергей в одной группе: $$2 \cdot C_{24}^{11}$$. 3. Вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе: - Вероятность равна отношению количества благоприятных исходов (Андрей и Сергей в одной группе) к общему количеству исходов (все возможные разделения на группы): $$P = \frac{2 \cdot C_{24}^{11}}{\frac{C_{26}^{13}}{2}} = \frac{4 \cdot C_{24}^{11}}{C_{26}^{13}}$$. - Раскроем биномиальные коэффициенты: $$C_{24}^{11} = \frac{24!}{11! \cdot 13!}$$ и $$C_{26}^{13} = \frac{26!}{13! \cdot 13!}$$. - Подставим в формулу для вероятности: $$P = \frac{4 \cdot \frac{24!}{11! \cdot 13!}}{\frac{26!}{13! \cdot 13!}} = \frac{4 \cdot 24! \cdot 13! \cdot 13!}{11! \cdot 13! \cdot 26!} = \frac{4 \cdot 24! \cdot 13!}{11! \cdot 26!} = \frac{4 \cdot 13 \cdot 12}{26 \cdot 25} = \frac{4 \cdot 13 \cdot 12}{2 \cdot 13 \cdot 25} = \frac{2 \cdot 12}{25} = \frac{24}{25} = 0.921$$ Ответ: Вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе, равна $$\frac{12}{25}$$ или 0.923.